拿破仑定理[拿破仑·波拿巴提出的一个几何定理]

思路3：用相似证明三边相等

证明：如图，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，

则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°

以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。

连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。

∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）

∴△ABF∽△BCD∽△ACE，

∴AF/AB = AE/AC = DC/BC　又∵AG=AF，GE=DC

拿破仑定理

∴AG/AB = AE/AC = GE/BC

∴△AGE∽△ABC

∴∠GAE=∠BAC

∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°

又∵AG=AF

∴△AGF为等边三角形

∴AG=AF，∠AGF=60°　∵△AGE∽△ABC

∴∠AGE=∠ABC

又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°

∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°

∴∠FBD=∠FGE

∵在△FBD和△FGE中，

FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE

∴△FBD≌△FGE(SAS)

∴FD=FE 

同理，FD=DE

∵FD=DE=FE

∴△DEF为等边三角形