第04讲：《空间直线及其方程》内容小结、课件与典型例题与练习

一、空间直线的方向向量
给定一条直线，称平行于这条直线的非零向量为该直线的方向向量．显然，与直线平行的所有非零向量均可作为此直线的方向向量．
  • 直线上的所有向量都与该直线的方向向量平行．
  • 直线的单位方向向量有相反的两个.
二、直线的方程
设直线过点，方向向量为 ，其中是不全为零的常数．为直线上任意一点.
  • 向量式方程
记, ，则直线参数为的向量式方程为
  • 参数式方程
  • 标准方程
直线的标准方程，也称为对称式方程，点向式方程：
【注】 特别注意分子的变量系数为1，次数为1.
  • 两点式方程
已知空间直线上的相异的两点, ，则两点的连线构成的直线的两点式方程为
  • 一般方程
三、直线方程描述形式的转换
记直线的一般方程
则直线的方向向量可以取为两法向量的向量积，即
取满足方程组，则由此向量可以将直线的一般式方程转换为以上方程的描述形式。
同样，由直线的标准式方程、参数式方程、两点式方程也容易得到直线的一般式方程。如由直线的标准式方程
可以将直线描述为一般式方程
它对应通过直线的两个特定的平面的交线。
如果方向向量的某一分量为零，如，则过点的直线的坐标式参数方程为
直线的一般式方程为
对于这样方向向量有坐标分量为0的直线，一般也记它的标准式方程为
四、两直线的位置关系
设两直线的标准式方程分别为：
并设是直线上的点， 是它的一个方向向量；是直线上的点， 是它的一个方向向量，则
【注】：如果两直线仅仅是平行，则有
不平行于
【注】：两条平行直线可以位于不同的平面上，但由于它们可以位于一个平面上，所以它们也表示共面直线。
(5) 不管是共面的直线还是异面的直线，规定两直线的夹角θ为两直线的方向向量间的夹角，即有
【注】：若两直线平行或重合，则它们的夹角可看成是0；如果两直线垂直，则它们的夹角为π/2.
五、点到直线的距离
设点是直线 上的一点， 是直线 的方向向量，则点 到直线的距离为由方向向量 与和构成的向量为邻边构成的平行四边形，在方向向量所在边上的高，即由平行四边形的面积公式可得
【注】也可以通过点 做垂直于直线的平面，则点 到直线与平面的交点（也即点在直线上的投影点）的距离为点到直线的距离.
六、直线间的距离
平行直线之间的距离归结为一直线上的任一点到另一直线之间的距离，即平行直线之间的距离可以直接使用点到直线的距离公式计算得到。
如果两条直线为异面直线，设是直线上的点， 是它的一个方向向量；是直线上的点， 是它的一个方向向量，则两异面直线之间距离等于构成的向量在向量上的投影的绝对值，或者由平行六面体体积计算公式，可以推得
七、平面与直线的位置关系
设平面和直线的方程分别为：
则有
【注1】：点在平面上的投影为过点作平面的垂线，垂线与平面的交点为点在平面上的投影点。
【注2】：不与平面垂直，且不在平面内的直线上不同两点在平面上的投影点的连线构成直线在平面上的投影直线，简称投影线。直线与它的投影线构成的平面与平面垂直。
(4) 规定直线与它在平面上的投影线的夹角为直线与平面的夹角，即
【注1】：平面、直线的位置关系归结为直线的法向量、直线的方向向量之间位置关系的讨论。
【注2】：直线与平面相交，相交的交点的求解可以由平面方程与直线的一般式方程的三个平面方程构成的三元一次方程组求得；也可以将直线的参数方程代入平面的方程，通过求解参数值得到。
八、平面束方程
(1) 空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束，直线叫做平面束的轴。如果两个平面
交于一条直线，那么以直线为轴的平面束的所有平面方程可以表示为
其中是不全为零的任意实数。
当时，则表示平面的方程；时，则表示平面的方程。
【注】：如果仅仅取，则平面束方程为
是不全为零的任意实数，则该方程能够表示的平面为除了平面的平面束中的所有平面；在利用平面束方程解决问题的过程中，减少了一个参数，简化问题求解过程，但是需要单独考虑平面。
(2) 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束.
空间中与平面
平行的平行平面束，或者说由平面确定的平行平面束为
其中是任意实数.

参考课件

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