2021美国区域数学挑战赛(ARML) 团体赛 中文翻译

团体赛

1.设表示位数. 计算的各位数字之和.

2.在一个正边形的个顶点中, 随机取个顶点. 求这三个顶点正好组成正三角形的概率.

3.一只青蛙在坐标平面上跳跃, 初始位置为原点. 其每一步跳跃, 均为水平方向的单位长度或者竖直方向的单位长度. 则青蛙要想跳到直线 上, 至少需要跳跃多少步?

4.求满足的实数的个数.

5.正方形中, 过边的两个三等分点作圆, 与边交于点. 求的最大值.

6.正方形中, 过边的两个三等分点作圆, 与边交于点. 求的最大值.

7.对给定的抛物线,称过其焦点,平行于其准线, 且两端都在抛物线上的线段为它的正焦弦. 称平行于正焦弦,两端也在抛物线上, 且长度为正焦弦的两倍的线段为其双焦弦. 对抛物线,计算其正焦弦上一点与双焦弦上一点的距离的最大值.

8.半径为的圆与半径为的圆外切. 圆与和均内切, 且这三个圆的圆心共线. 直线 与和分别切于点, 点在圆上, 满足$F D<f e$且$="" \angle="" d="" f="" e="90^{\circ}" .$="" 计算$\sin="" f$.<="" p="">

9.平面上有九个互不相同的圆, 且其中至多一半的两圆组相交. 这些圆在平面上划分出个封闭区域. 求的最大值.

10.对正整数, 设表示其各位数字之和. 求满足 的七位正整数的个数.