教你判定平行四边形

平行四边形是初中数学的重要内容，也是中考命题的热点，在平行四边形的学习过程中，常会遇到平行四边形的判定问题，解答这类问题有以下三种思路.

思路之一 考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且相等

例1、如图，已知AC是四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，求证：AD=BC

证明：∵∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，

∴AB∥DC，AB∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形

（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∴AD=BC

例2、如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=CG，BF=DH，求证：EG与FH互相平分

证明：连接EF、FG、GH、HE，

由   ABCD，得到AD=BC，∠A=∠C，又DH=BF，

∴AD-DH=BC-BF，即AH=CF，在△AEH和△CGF中，

AE=CG，∠A=∠C，AH=CF，∴△AEH≌△CGF，∴HE=FG，同理，EF =GH，

∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），

∴EG与FH互相平分

例3、如图，点E、F分别在平行四边形ABCD的边AB、CD上，且AE=CF，求证：DE∥FB

证明：由平行四边形ABCD，得到AB∥DC，即EB∥DF，AB=CD

又AE=CF，∴AB-AE=CD-CF，即EB=DF，∴四边形EBFD是

平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

∴DE∥FB

思路之二 考虑对角关系：证明两组对角分别相等

例4、如图，已知平行四边形ABCD中，∠B、∠D的平分线分别交CD、AB于点E、F，

求证：BE=DF

∴四边形BEDF是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），∴BE=DF

思路之三 考虑对角线关系：证明两条对角线互相平分

例5、如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，求证：BF∥ED

证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形

∴OB=OD，OA=OC，又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，

∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

∴BF∥ED