贲友林工作室·问题||倪红叶：为什么求一个数的几分之几，可以用乘法？

《分数乘法》单元中的例2，提出了一个问题：小星做了10朵绸花，其中

是红花，问红花有多少朵？教材给出两种方法：（1）结合分数的意义，10÷2×1=5（朵）；（2）用乘法解决：10×

=5（朵）。教材随后得出结论：求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算。

为什么求一个数的几分之几可以用乘法计算呢？很多学生并不能完全理解。

【问题分析】

一、厘清概念

分数乘法有两层意义：一是求几个相同分数的和的简便运算；二是表示一个数的几分之几。第一层意义是根据整数乘法的意义推广来的，容易理解；第二层意义比较抽象，可以结合以下分析加以理解。笔者探究的重点就是乘法的第二层意义。

二、分析方法

1、联系分数的意义：解释用乘法计算结果的正确性

三年级下册初步认识分数时，学生已经能够根据分数的意义，用整数乘、除法解决求一个数的几分之几是多少的实际问题。以此为基础，再结合直观操作学生列式：10÷2×1=5。根据整数与分数相乘的计算方法，发现其结果与10×

相等（10÷2×1=10×1÷2），一定程度上通过计算的结果解释了一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几。

2、换一种表达理解：“某数的几分之几”与“几分之几个某数”

“求某数的几分之几”是否等同于“几分之几个某数”可能见仁见智，但是可以借助“几分之几个某数”帮助学生理解分数乘法的第二层意义。例如：求10朵绸花的

是多少？既可以从分数的意义角度思考：将10平均分成2份，每份是多少？也可以从整数乘法的意义出发去理解：

个10是多少？即用10×

解决，这样的表述在数学中不常见，但是生活中倒是会听说，如：二分之一块蛋糕，三分之一杯水……，结合生活，换一种表达帮助学生理解。

3、利用类比推理，沟通“分率”和“倍”的联系

由于分数的知识和方法比较抽象，对于部分孩子来说上面的两种解释或许能说通，但是对于一部分抽象思维能力稍弱的孩子来说，这样的解释还远远不够。

首先教师需要明确：“求一个数的几分之几”这个问题并非凭空出现，而是基于“求一个数的几倍是多少”的学习，在此基础之上的进一步学习。换句话说，“求一个数的几倍是多少”与“求一个数的几分之几是多少”的数量关系是一致的。

《现代汉语词典》对“倍”解释是：“倍”跟原数相等的数，某数的几倍就是用几乘某数：二的五倍是十^[1]。由此可知，“一个数的几倍是多少”用乘法。同时，分数表示数量和分率两层含义，分率其实本质上和倍的意义相同，因此倍和分率又统称为“倍率”。那么“一个数的几分之几”中的“几分之几”就表示倍率，无需再加“倍”字重复说明^[2]。

以课后的一道练习为例：星河小学举行运动会，参加长跑的有24人，短跑的人数是长跑的1.5倍，跳高的人数是长跑的

。根据上述倍率的含义，长跑人数为24×1.5=36（人），跳高人数为24×

=20（人）。这道习题将“倍”与“分率”的问题综合到一块，通过类比推理，既有利于学生比较两者之间的联系，又能加深对“求一个数的几分之几用乘法”的理解。

三、教学建议

由于“求一个数的几分之几”的知识比较抽象，但是又是进一步学习分数除法、有关分数实际问题的重要基础。因此，在教学中建议：1、提供例题情境中的图形素材，通过分一分、涂一涂，启发学生思考用乘法计算的结果与除法计算的结果一致；2、设置问题：为什么“求一个数的几分之几用乘法”？设计“倍”与“分率”的相关练习，让学生类比知识，建构知识体系；3、总结分数乘法的意义，理解分数乘法的两层不同含义。

作者

简介

倪红叶，南京市樱花小学数学教师，玄武区优秀青年教师，区优秀中队辅导员。倡导“伙伴学习”，以学生发展为中心，并有多篇论文发表获奖。

参考文献：

[1] 中国社会科学院语言研究所词典编辑室.现代汉语词典（第5版）[M]．北京：商务印书馆，2005:61.

[2] 李华 刘延柏.用“倍数”类比推理效果更优[J]．北京：中小学数学，2017：99-100.