用极限思想解立体几何题两例

立体几何中有一类确定取值范围的问题，用一般的方法，解题过程通常比较繁琐.若用极限思想来考虑，则不仅构思巧妙、独特,而且简便快捷.

例1正四棱锥相邻两侧面所成的二面角是(    ).

(A) 锐角              (B)钝角

(C)直角               (D)钝角或直角

分析: 设正四棱锥 如图1所示，SO为顶点S到底面ABCD的垂线，点O为垂足，当顶点S沿着垂线缓慢移动时，正四棱锥相邻两侧面所成的二面角也缓慢发生变化.我们取两种极限位置:

1.顶点S沿着垂线SO向下移动直到与点O重合，此时，正四棱锥变为平面图形，显然，这时相邻两侧面所成的角为180°；

2.顶点S沿着SO所在直线向上移动到无穷远，此时,正四棱锥变为正四棱柱，显然，这时相邻两侧面所成的角为90°.

我们知道,极限位置是可以无限接近但永远达不到的,因此，正四棱锥相邻两侧面所成的二面角的范围为(90° ,180°),为钝角.故(B)为正确答案.

这种分析方法还可以进一步推广,用来确定正n棱锥相邻两侧面所成二面角的范围.

例2. 在图2所示P三棱锥P- ABC中,底面三角形ABC是边长为a的正三角形，且PB=PC=a.则PA的长的取值范围是多少?

分析： 二面角P-BC-A发生变化时，PA的长度也相应发生变化.取二面角P- BC-A的两个极限位置:当二面角P- BC-A为0时,点P与点A恰好重合,三棱锥变成三角形,此时PA=0;当二面角P- BC-A为180°时,三棱锥变成菱形，此时PA为菱形的对角线,PA=√3a.所以PA的长的取值范围是(0,√3a).