中考数学压轴题分析：两定两动平行四边形存在性问题
本文内容选自2020年雅安中考数学压轴题。
平行四边形的存在性问题见的多了，下面继续来一道。虽然题目老旧，但是确实比较典型。估计今年还是会有很多地方考到。
【中考真题】
（2020·雅安）已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点到直线的距离取得最大值时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）．
【分析】
题（1）求解析式，则代入点坐标即可。令y=0或者韦达可以求点A的坐标。
题（2）D到AC的距离就是作垂线，要求最值不方便直接求。可以先设点D的坐标，然后过点D作x轴的垂线，利用相似表示出距离，即可得到最大值。本质上与三角形ADC的面积最大值是一样的。
题（3）是两定两动型平行四边形的存在性问题。不写过程就更降低难度了。由于BO在x轴上，所以MN与x轴平行即可。其次，OB为对角线的时候，MN与OB互相平分，易得点N的横坐标，进而得到点N的坐标。
当然，还可以直接用平移坐标的方法或者用中点坐标公式等进行解决。
【答案】解：（1）把，代入
则有，
解得，
二次函数的解析式为，
令，得到，解得或1，
．
（2）如图1中连接，．
点到直线的距离取得最大，
此时的面积最大，
设直线解析式为：，
，，
，
解得，，
直线的解析式为，
过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，
则，
点在第三象限，
，
，
当时，，点，，
点到直线的距离取得最大时，，．
（3）如图2中，当是平行四边形的边时，，，可得或，
当为对角线时，点的横坐标为2，
时，，
．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
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