最大公因数与最小公倍数的应用

因数和倍数是相互依存的一对数学概念。如果a能整除b，则称a为b的因数，b为a的倍数。一个数的因数个数是可数的，最小因数为1,最大的因数是这个数本身，因数有最大因数。一个数的倍数有无限多个，倍数有最小倍数，最小倍数是这个数本身，没有最大倍数。

如果一个数能同时整除两个（或两个以上）不同的自然数，那么我们称这个数是它们的公因数；两个（或以上）不同的自然数都有的倍数称为公倍数。一般地，最大公因数和最小公倍数最常见常考。

例1、将一个长24厘米，宽18厘米的大长方形布料，裁剪成若干个小正方形，并且刚好裁剪完没有剩余，则小正方形的边长最大是多少厘米？能裁成多少个这样的小正方形？

这一个题目就是需要用到最大公约数，原有布料是一个大长方形，长24厘米，宽18厘米，要使布料全部裁剪成正方形没有剩余，那么小正方形的边长数就要能同时整除24和18，就是24和18的公因数。又要使边长最大，那就是最大公因数。24的因数有：1,2,3,4,6,8,12,24共8个；18的因数有1,2,3,6,9,18共6个。在这些因数中1,2,3,6是公因数，最大的是6。所以裁剪成的小正方形边长最大为6厘米，能裁（24÷6）×（18÷6）=12个。

例2、一个小长方形，长6厘米，宽4厘米，至少需要多少个这样的小长方形才能拼成一个大正方形，此时，大正方形的边长是多少？

这一题中，要把小长方形拼成大正方形，显然是用到倍数，因为长方形常6厘米，宽4厘米，所以拼成的大正方形边长必须是6和4的公倍数，6和4最小的公倍数是12，所以大正方形的边长为12厘米，需要（12÷6）×（12÷4）=6个这样的长方形。

练习1、一路公交车5分钟发一班车，二路公交车6分钟发一班车，早上同时发第一班车，之后至少需要多长时间才能再次同时发车？

练习2、某班采购了84个数学本，42个语文本，平均分发给班上的同学，正好分完，那么这个班最多有多少人？

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