历数那些热爱数学的“真命天子”

引言：不论是中国的皇帝还是古埃及的法老，他们都以“真命天子” 自居，生杀予夺，悉操于己。但是从生理学的观点来看，他们毕竟不是什么“龙种”，与普通的人并无二致。综观二十四史，不学无术的皇帝当然是绝大多数，但也出了一些“佼佼者”。譬如说，当了金兵的俘虏，在五国城“坐井观天”的宋徽宗赵佶，却能写一手“瘦金体”好字，是一位杰出的书法家哩！几何学作为人类的一项重要智力成果，古往今来，不知吸引了多少人，在其信徒中，出现个把“位居九五之尊”的人物，自然也是情理之常。

下面，让我们泯除中外的畛域，顺着历史的次序来说一说吧。

01

埃及国王托勒密与几何原本的邂逅

金字塔是埃及人的骄傲，它的底座有正确的形状，底和高有一定的比例。金字塔是埃及法老们的陵墓，对相信来世、希冀死后复生的法老们来说，修建金字塔往往比军国大事更为重要。

公元前三世纪，生活在亚历山大里亚时期的希腊人欧几里得总结了前人在生产实践中得到的大量数学知识，写成了《几何原本》，这是一本内容异常丰富的著作，它对数学发展的影响很大。欧几里得因而名震一时。当时，统治埃及的托勒密国王对几何学也深感兴趣，他自命“天纵圣明”，认为天下无论什么事情都能一看就懂，一学就会。可是，看了《几何原本》之后，他却皱起眉头来了。原来，这部书共有13卷，一共包含467个命题。即使讲直线形的第一卷，也有48个定理，完全是根据35个定义、5 个公设和5个公理，使用严格的逻辑推理手段加以证明的。

托勒密国王感到非常棘手。但转念一想，他又自作聪明地认为，这类繁琐说教，乃是专为凡夫俗子而设的，对他这个“富有四海”的天子，肯定另有一条捷径。于是就问欧几里得：“几何之法，更有捷径否？”不料欧几里得却不买他的账，冷冷地回答道：“夫几何一途，若大道然，王安得独辟一途也？”（见清末著名数学家李善兰翻译的《几何原本》序）国王托勒密被兜头泼了一瓢冷水，大为扫兴。从此以后， “几何无王者之道”(There is no royal road to geometry，或意译为 “几何学中无捷径”）就作为一句名言而流传下来了。

02

康熙帝废寝忘食学习几何

如果说，对几何学的学习，托勒密国王只是一个还未入门的爱好者，那末，我国清朝康熙皇帝就与之大不一样了。康熙帝爱新觉罗・玄烨（1654-1722）在位61年，他是汉，唐以来统治年代最为长久的君主。在他一生中，很重视学习西方先进的自然科学，由于当时的具体条件，他只能通过外国传教士来学习。当时，有两位法国传教士张诚和白晋被派到中国，康熙帝留他们在宫廷供职，要他们经常进宫讲解数学及其他自然科学知识。这在《张诚日记》及白晋写的《康熙帝传》中均有翔实的记载。

康熙对几何最感兴趣，他向张诚、白晋学习欧几里得几何，常常连续几小时不辍。他不仅学习几何定理，还动手演算习题，因而真正掌握了这门学科的知识。他还指示臣下，将明末徐光启和意大利传教士利玛窦译成汉文的《几何原本》 前6卷译为满文。此外，他还学习了对数与三角，能够熟练地用对数来运算习题。对译成汉文和满文的西方数学著作，他也亲自进行了校阅。在其主持下，编成了数学巨著《数理精蕴》。

康熙不仅自己重视西方自然科学知识，同时还督促大臣们学习。他曾亲自向大臣们讲授数学。《张诚日记》写道：“皇上当着朝廷大臣们面前，把我们教给他的几何学，大部分作了实际应用。”

康熙

康熙不仅努力学习，还注意在实践中运用。他曾下令制造当时威力十分强大的“红衣大炮”，在后来平定吴三桂叛乱和反击沙俄侵略中都发挥了很大的作用。几何知识与测量实践关系密切，康熙帝对此也很注意。他前后六次南巡，都检查了河工、水利工作，多次亲自勘察地形，测量水文，批评尸位素餐的官僚。1707年，他南巡到苏北，对于地方官吏张鹏翩治河的敷衍塞责态度十分恼怒，斥责说：“今日沿途阅看，见所立标杆错杂，问尔时全然不知，河工系尔专责， 此不留心，何事方留心乎？” 《清史稿》说他：“上（皇上的简称）登岸上步行二里许，亲置仪器，定方向，钉桩木， 以纪丈量之处”。

03

拿破仑一世创立拿破仑定理

法国皇帝拿破仑一世（1769-1821）的几何造诣很深， 在古今中外的帝王中堪称独步。他出身行伍，当过炮兵军官，对于射击和测量中用到的几何与三角知识，本来就有很多感性认识。后来进一步提高，从理论角度对几何问题进行探索。拿破仑的一番心血没有白费，在几何学的众多趣题中，有的竟冠上了他的名字！

现在我们简单介绍一下脍炙人口的“拿破仑三角形”。请你随便画一个三角形，记为△ABC。在此三角形三条边的外侧，分别作三个等边三角形，它们的外接圆圆心是O1,O2,O3，连结此三点成一新的三角形，称为“外拿破仑三角形”（图4）。

图4

然后，请再在△ABC三条边的内侧，也分别作三个等边三角形，设它们的外接圆圆心是P1,P2, P3，连结这三点又成一新的三角形，称为“内拿破仑三角形”（图 5）。内、外拿破仑三角形本应作在同一个图上。为了醒目起见，把它们分开来画。

图5

拿破仑证明了下列有趣的事实：

1．外拿破仑三角形是一个正三角形。

2．内拿破仑三角形也是一个正三角形。

3．上述两个三角形的外接圆圆心是同一点。

即使在今天，要证明上述的事实也并非易事，何况当时。怪不得一些数学家（如拉普拉斯）也感到惊异，他们对拿破仑的才能心服口服，由衷地向他提出了一个要求：“我们有个请求，请您来给大家上一次几何课吧！”

拿破仑在几何学上有这样深的造诣，是和他的谦虚好学分不开的。他有一些大数学家作为朋友和臣下，例如拉格朗日和拉普拉斯，后者曾被拿破仑封为伯爵，并被任命为法国内政大臣。

04

美国总统与勾股弦定理

勾股弦定理是几何学中一条重要定理，古往今来，有无数人士探索过它的证法。1940年，在一本名叫《毕达哥拉斯命题》（第二版）的书中， 就搜集了367个不同的证法。其中，最令人感到兴趣的证法之一，居然是由一位美国总统作出的！

据当代著名数学科普作家马丁・加德纳报道，1876年4月1日，波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股弦定理的一个别开生面的证法，编者注明它是由俄亥俄州共和党议员詹姆士・A・加菲尔德所提供，是他和其他议员一起做数学游戏时想出来的，并且得到了两党议员的一致同意。后来，加菲尔德当选为美国总统。于是，他的证明也就成为了人们津津乐道的一段轶事了。（据说这是美国总统对数学的唯一贡献）。

他的证法确实十分干净利落。作直角三角形ABC，设其边长分别为x、 y、 z（图7），其中BC=z是斜边。作CE 垂直于BC，并使CE=BC, 再延长AC至D，使CD =AB=x，连D、 E，

于是，勾股定理得到证明。

05

戴高乐将军与洛林十字架

由于法国戴高乐将军的缘故，洛林十字架在整个西方世界赫赫有名。在希特勒法西斯匪徒侵占法国期间，戴高乐组织法国流亡政府，坚持抗战。第二次世界大战结束后，他曾一度下野，后来又出任法兰西第五共和国总统。他生活俭朴，逝世后，墓前只有一块小小的墓碑，上面写着“戴高乐之墓”，还有一个洛林十字架作为标志。

说到这里，读者们一定会问：洛林十字架到底是什么东西呢？请看图8，它是由13个小的正方形组合而成的图形。如果每个小正方形的面积为1平方单位，则洛林十字架的面积就是13平方单位。亚尔萨斯——洛林原为法国领土，普法战争后割让给普鲁士（即后来的德国）。这两个州的人民身受异族统治之苦，读过法国著名作家都德的名作《最后一课》的人一定留有深刻的印象。戴高乐身上经常佩带着洛林十字架，以示“还我河山”，收复故土之意。此外，他很喜欢做几何题目，有的作图题就以洛林十字架为素材。

譬如说，要从图上的A点作一根直线，把洛林十字架一分为二，使两部分的面积正好相等，问应如何作法？作图工具当然只限于直尺和圆规。戴高乐总统的办法如下：

连结BM， 它与直线AD交于F点， 易知F即为AD之中点。以F为圆心，FD为半径作弧，与直线BF相交于G点；再以B为圆心，BG为半径作弧，与直线BD相交于C点。连结CA，并延长之，使它与十字架的边界相交于N点，则 CAN就是所要求的直线了。

证法很容易，读者一定能够领会，在此就不必一一细表了。