数学 @ 2020
对数学来说，2020是争议的一年。
今年4月初，一则与数学有关的新闻引发轩然大波：由日本数学家望月新一发展的ABC猜想证明，将要被正式发表在由望月本人担任主编的期刊《数理解析研究所公刊》上。这是望月在2012年就宣称已经成功证明的结果，然而鉴于他的理论不仅面临不被数学界理解的尴尬境地，并在2018年9月遭到了数学家Peter Scholze和Jakob Stix指出其论证中存在根本性错误，这一事件一直备受争议。ABC猜想究竟是否已得到证明，我们难以判断，只能等待时间告诉我们答案。
对数学来说，2020也是告别的一年。
同样在今年4月，被称为是世界上最可爱的自大狂数学家约翰·霍顿·康威，因COVID-19逝世。康威或许是世界上最有趣、最神奇的数学家，他喜欢玩游戏、发明小游戏、改写游戏规则，并在20世纪60年代末发明了生命游戏。他也不乏严肃的数学成就，他发现了三个零散单群，其中最大的被命名为康威群；他最为之骄傲的是发明了一类新型的数字，被称为超现实数；他在数论、代数、几何拓扑等数学领域都做出了重大贡献。这位风趣、搞怪、才华横溢的数学家获得过众多数学奖项，然而却败给了这场给无数人带来伤痛的病毒大流行。
尽管如此，毫无疑问，对数学来说2020也是收获的一年：一些困扰数学家已久的谜题得到了彻底解决，一些困扰数学家数百年的问题取得了重大突破，一些定律得到了证明，一些技术取得了重大进展……在2020即将结束之际，让我们回顾在这一年里，数学领域都发生了什么趣事。
几何山羊问题的精确解
外部山羊问题：一只山羊被拴在圆形的池塘旁边的围栏上，绳子的长度等于围栏的周长，灰色区域和浅绿色区域为山羊可以食草的区域。| 图片参考来源：Ingo Ullisch & QuantaMagazine | 扩展阅读：《两百多年前的这道简单数学题，终于有了精确解！》
1748年，伦敦的一个数学期刊上刊登了这样一个问题：一匹马被拴在公园里的圆形围栏上，圆形围栏的周长为160码，与拴住了马的绳子长度相同。问，马可以走动的最大面积是多少？后来，这个问题中的马变成了山羊，变成了几何山羊问题的外部版本的最早记录。
1894年，几何山羊问题的内部版本被发表在了《美国数学月刊》上，问题可被概括为：一只用绳子固定在圆形围栏上的山羊，绳长为多少时，山羊的活动范围刚好为圆形围栏所围范围的一半？
这两个问题看似简单，其实极具挑战，且内部问题比外部问题更为复杂。一直以来，数学家和数学爱好者只知道它的近似解，不知其确切解。直至今年2月，德国数学家Ingo Ullisch将复分析运用到求解一个超越方程，推导出了一个能表示绳长的表达式，找到了内部山羊问题的首个精确解。
三个公用设施问题
三个房子与三种公用设施相连的问题。| 图片参考来源：University of Copenhagen | 扩展阅读：《停滞了20多年一个数学问题，终于有了新突破！》
1913年，《斯特兰德杂志》刊登了一个名为“三个公用设施问题”的脑筋急转弯，问题是有三间房和三种公用设施（水、气、电），如果每一间房都与三种公用设施相连，是否能做到让所有的连线互相不交叉。
从数学角度看，这其实是一个与图论中的可平面图概念有关的问题，它实质上讨论的是对一个图形来说，如何在连线不交叉的情况下将节点用连线连接，以及如何用算法来确保一个图形在发生变更后仍能保持可平面性。这一问题的上一次突破出现在1996年，当时，4名计算机科学家发展出了一种测试图形的可平面性的算法，但那种算法在实际操作中的效率不高。自那时起，对这一问题的研究进展就几近停滞。
最近的重大突破发生在今年6月。计算机科学家Jacob Holm和Eva Rotenberg意识到，可平面图可平面图具有多种不同的绘制方式，而在不同的绘制方式中，点与点之间的连接仍相同，只是连线之间的相对位置有可能不同。通过对可平面图的这一特点加以利用，他们发表了一种能以指数级改进检验图形的可平面性的算法。
正十二面体的直线路径问题
正十二面体上存在这样的直线，它从一个顶点出发可以返回这个顶点，且无需经过其他任何顶点。| 图片参考来源：J Athreya et. al | 扩展阅读：《正十二面体的一个最基本谜题被破解了》
这是一个关于在一个假想的“正多面体世界”走直线的问题：假如我们生活的世界是一个正多面体，那么是否可能存在这样的直线路径，使你从某个顶点出发，顺着直线一直前行的途中，可以在不经过其他任何顶点的情况下返回原点。
数学家早已知道，对于由三角形构成的正四面体、八面体、二十面体，以及由正方形构成的立方体来说，这个问题的答案是否定的。却一直不知道由五边形组成的正十二面体的情况。
今年5月，《实验数学》杂志上刊登了一项研究，数学家Jayadev Athreya等利用将图形与现代计算机方法结合，证明了对于正十二面体来说，不仅存在这样的直线路径，并且这样的直线路径还有无数个。
破解凯勒猜想
二维空间的凯勒图。| 图片参考来源：cs.cmu.edu | 扩展阅读：《存在90年的凯勒猜想被完全破解》
在二维空间中，用相同大小的正方形进行密铺时，总会出现两个正方形具有一整条共享边的情况；在三维空间中，当用大小相同的立方体进行完全填充时，也必定会有两个立方体完全共享一个面的情况。数学家不禁想知道，如果维度一直上升，情况又会如何呢？1930年，德国数学家奥特-海因里希·凯勒提出猜想，认为这种模式适用于任何维度。
在接下来的时间里，凯勒猜想在六维以及更小的维度上被验证为正确，但当维度提高到八维及以上时，猜想便不再成立。唯独七维空间中的情况是未知的。
今年12月，一个由计算机科学家和数学家组成的团队，通过利用一种被称为“凯勒图”的图形，将这个与无穷大有关的问题，简化成了与几个数字有关的算术问题，并最终证明了凯勒猜想在七维空间中仍然正确。至此，这个已存在90年之久的谜题被彻底解开。
MIP* = RE
扩展阅读：《一个撼动了物理学和数学的简单等式》
这是一项里程碑式的成就。
自阿兰·图灵在1936年提出第一个关于计算机的一般理论，便开启了我们对复杂性问题的探讨。其中MIP* = RE这个简单等式，对量子力学和纯数学中的很多待决问题都具有深远影响，它足以撼动物理学和数学的许多领域。
今年1月，一组数学家用一篇165页的论文，证明了MIP* = RE。RE类指的是是可以被计算机解决的问题，MIP类是指可用多个经典计算机使用交互证明进行有效检查的问题，而MIP*类涉及到证明者可以共享一个纠缠的量子比特，使它们能相互交流。这个等式的成立，不仅意味着某些特定的问题是真的无从知道答案的，还驳斥了已存在了44年之久的科纳嵌入猜想，标志着复杂性问题研究的一个巨大飞跃。
康威扭结不是光滑切片
Piccirillo扭结。| 图片参考来源：Quanta Magazine | 扩展阅读：《用不到一周时间，揭开困扰数学界几十年的难题》| 图片来源：
在数学中，“扭结”表示的是一种一条绳子以特别的方式缠绕在一起，且绳子的两端相连的概念。数学家除了思考在三维空间中的扭结外，还思考如何在四维空间中创造扭结。
当对四维空间中的一个打结球面进行切片时，根据切片的位置，有可能得到一个打结的环，也可能是一个未打结的环，还可能是连在一起的几个环，所有通过对一个打结球面进行切片而得到的扭结被称为切片扭结。
多年来，数学家发现了几乎所有带有12个或更少交叉的扭结的切片属性，除了康威扭结之外。康威扭结是在半个多世纪前由数学家约翰·霍顿·康威发现的，共有11个交叉。
今年，年轻数学家Lisa Piccirillo用不到一周的时间就解开了谜题，证明了康威扭结不是光滑切片。她的证明发表在了今年二月的《数学年刊》上。
巴切勒定律的数学证明
巴切勒定律有助于解释化学浓度和温度如何在液体中分布，我们在冷热混合的海水中的那些大小不同的旋涡里看到它的作用。| 图片来源：NOAA/GEOPHYSICAL FLUID DYNAMICS LABORATORY | 扩展阅读：《数学家首次证明了湍流中的一个关键定律》
1959年，由数学家兼物理学家乔治·巴切勒提出的巴切勒定律表明，某些湍流系统虽然看起来混乱，但实际上遵循一种简单、精确的规律。这一定律描绘了流体在混合时所形成的漩涡的大小和分布，其表现足以让物理学表示满意，却一直缺乏数学上的有力证据证明它绝对成立。
今年，有三位数学家通过采用一种考虑在湍流系统中的流体的平均行为的方法，首次证实了巴切勒定律的正确性，它是迄今为止数学中对湍流最为严谨的描述之一，只在少数几种情况下不符合解决了千禧年大奖难题——NS方程。
旅行员推销问题近似解的更优算法
Gharan等人提出的新算法的近似解，先利用随机过程创建树，然后再将它转换成完整的往返旅程。|图片参考来源：| 扩展阅读：《44年，10⁻³⁶的关键突破》
在数学和理论计算机科学中，有一个存在已久的问题——旅行推销员问题。简单来说，它可被描绘为对于一位需要对一系列目的地需要逐一拜访、再最终返回起点的推销员来说，应当如何规划旅行路径，才能使得整个旅程最短。
几十年来，数学家和理论计算机学家对这一问题反复研究。一个普遍被接受的观点认为，不存在一种算法，能够有效地为旅行推销员问题中的所有可能目的地组合找到最优解，但或许能够找到接近最优解的方法。1976年，克里斯托菲德斯发展出了能有效地找到近似解的算法，并且用这种方法找到的近似解最多比最优解长50%。之后，这一问题便鲜少出现新的进展。直到2011年，Shayan Oveis Gharan等人才采用一种新的方法找到了在“图形化”的旅行推销员问题上，比克里斯托菲德斯算法更优的结果。
今年，Gharan等人利用多项式几何，以一篇长80多页的论文，证实了2011年所设计的算法，的确比克里斯托菲德斯的算法更好，与克里斯托菲德斯的算法相比，新算法将近似比提高了10⁻³⁶。虽然这是微不足道的数字，但它却突破了这一问题的理论僵局。
拉姆齐数的极限上界
扩对于由6个顶点连接而成的完全图来说，用两种不同颜色为其边着色，必然会出现3个顶点由相同颜色的边连接而成的情况。| 图片参考来源：Quanta Magazine | 扩展阅读：《一位数学本科生的极限探索》