机械振动史传 | 第二回：近代名家谋圣典 真知有证验方实
本文为吴飞老师所投译评文章，【遇见数学】特此表示感谢！数学与音乐都是美的体现，让我们一起探索美妙振动中的数学旋律。
作者简介
吴 飞，任职于上海微电子装备（集团）股份有限公司，创新业务主管，《Mathematica演示项目笔记》作者，获发明专利授权24篇。
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机械振动史传
吴 飞 / 译评
上海微电子装备（集团）股份有限公司
原文出处：S.S.Rao, Brief History of the Study of Vibration, Mechanical Vibrations, 5th Ed., Prentice Hall, 2011, pp.3-10.
原文翻译=黑色字体；（注释说明）=蓝色字体；[译者评论] =红色字体。
第二回
近代名家谋圣典 真知有证验方实
伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）被认为是现代科学实验的奠基人。实际上，由于现代哲学和科学理论都是在那一时期奠定的，十七世纪也常常被认为是天才们的世纪。伽利略研究单摆运动是受到悬挂在比萨教堂上的吊灯的启发。一天在做宗教布道时，伽利略觉得百无聊赖，[终是个“异教徒”。]于是他就盯住教堂的天花板注视。一个来回晃动的吊灯吸引了他的注意力。[想必在那个时代，催眠术还未兴起。]他开始以自己的脉搏测量吊灯的摆动周期，并且兴奋地发现摆动的时间周期同摆动的振幅无关。这导致了他此后开展了更多的单摆实验。在其1638年发表的《论两种新科学》（Discourses Concerning Two New Sciences）, 伽利略讨论了振动物体。他描述道，振动频率取决于单摆弦长，并伴随有感应振动的现象（现在的术语称共振）。伽利略所著的文字表明，他已经清晰地理解了频率、长度、拉力和摆动的拉伸弦密度之间的关系[参考文献5]。然而，首位发表弦振理论的却是法国数学家和神学家梅森（Marin Mersenne，1588-1648) ，其著作《宇宙和声》（L'Harmonie Universelle）（原书此处书名有误，译者更正。）发表于1636。梅森还曾首次测量，通过具有相同密度和张力的长弦预测短弦的振动频率。梅森被许多领域公认为声学之父。也因其发现振弦定律，并于1636年发表（比伽利略早两年），而享誉盛誉。然而，这一功劳应该归功于伽利略，因为振弦定律早在许多年之前就已写定，直至1638年才公开发表，因为当时发表需要得到罗马天主教执行官的允许。[伽利略VS罗马天主教，这又是另一段故事了。]
受伽利略的启迪，佛罗伦萨于1657年创立了学术院，接着是伦敦于1662年成立了皇家社会研究院，以及巴黎于1666年组成了科学学术院。此后，虎克（Robert Hooke，1635-1703） 进行了系列实验试图找到音调和单弦振动频率的关系。然而，却是萨维尔（Joseph Sauveur，1653-1716) 深入进行实验和研究，并提出了声学（Acoustics）一词代表声音的科学[参考文献6]。法国的萨维尔和英国的威尔士（John Wallis，1616-1703）分别独立观察到振型的现象。他们发现在一根拉伸的振弦上总有些位置的点没有任何运动，而剧烈运动的总在弦的中间部分。萨维尔称前者为节点，后者为环线。此外还发现这种形式的振动比无节点的简单振动具有更高的频率。实际上，高频振动和低频振动的之间具有整数倍的关系，于是萨维尔就称它为高频谐波，又将简谐振动的频率称为基频。萨维尔还发现，一根弦可以在同一时刻振动形成它的几阶谐波。此外，他还观察到两根音调略有差异的风琴管同时鸣奏所产生的击拍现象。至1700年，萨维尔采用了一些模棱两可的方法计算得到，拉伸弦的频率通过测量其中间点的下垂量可以得到。[实验成果不少，还未上升为理论。]
牛顿（Sir Isaac Newton，1642-1727）于1686年发表了他里程碑式的著作《自然哲学的数学导论》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）, 描述了普适的重力场和著名的三条运动定律。 [“大流氓”横空出世，宣布三条法则。] 牛顿第二定律被惯例性地在现代振动教科书中所使用，以推导振动物体的方程。振弦问题的理论（动态）解，于1713年被英国数学家泰勒（Brook Taylor，1685-1731)所找到，他也是著名无穷级数理论（泰勒级数）的提出者。振动的自然频率由泰勒通过运动方程所导出，并且同伽利略和梅森所观测的实验数值很好地吻合。采纳泰勒方法的过程，随后又被完美地了引入到达朗贝尔（Jean D’Alembert，1717-1783)和欧拉（Leonard Euler，1707-1783)、柏努利（Daniel Bernoulli，1700-1782)的运动偏微分方程组中。[可怕的团队阵容！]
达朗贝尔首先于1750年柏林学院发表论文集，通过运动微分方程建立的弦线方程，即波动方程，它如今在现代振动理论教科书中大量呈现。支持和挟持薄壁梁的振动分别由欧拉于1744年和柏努利于1751年研究完成，这一贡献现在被称为欧拉-柏努利薄壁梁理论。
柏努利在其论文集中（柏林学院于1755年出版）[参考文献7]，通过动态方程证明了几个同一时刻简谐运动复合的可能性（任意点、任意时刻的位移等于每个简谐位移的代数和）。这一特性被称为“小幅振荡共存”，而今天的术语则称之为“叠加原理”。叠加原理被后来证明是对振动理论最有价值的发展，它能够将任意函数（如：任意初始形状的弦线）表达为正弦或余弦的无穷级数。由于这是一个的隐性证明，达朗贝尔和欧拉曾怀疑这一原理的有效性。然而，这一问题有效性的解释被傅立叶（J. B. J. Fourier，1768-1830) 于1822年在其热的理论分析的工作中所证明和完成。[两个瑞士人怀疑一个法国人，后来又来了一个法国人，大家就没有疑问了。] [经典的线性振动理论就此奠定基础。]
振弦的解析解由拉格朗日（Joseph Lagrange，1736-1813)在其论文集（都灵学院1759年出版）中所呈现。在拉格朗日的研究中，他假设弦线是由有限多个间距相等的质点所组成，他建立了同质点数量相等的、相当数量的、独立存在的频率。当大量质点允许变成无穷时，所求得的频率即同拉伸的弦线频率相等。[从离散到连续假设。]
库仑（Charles Coulomb，1736-1806）既进行了理论研究，也开展了实验研究。[理论+实验 = 酷！]他于1784年对一个由金属丝悬吊的圆柱体进行了扭振分析（图6所示）。通过假设扭绳的扭矩同扭转的偏转角度成正比，他得到了悬吊圆柱体的扭振运动方程。再通过将运动方程求积分，他发现扭振的运动周期同扭转的偏转角度无关。[从水平自由度向旋转自由度拓展。]
图6 库仑扭振实验装置
具有戏剧性的一幕，发生在研究平板振动理论[参考文献8]的时候。[从一维向二维拓展。] 1802年，德国科学家克拉德尼 (E. F. F. Chladni，1756-1824) 成功研发了一种实验方法（图7所示），将沙子置于振动平板之上，这样就能观察到平板振动时，美丽而错综复杂的振型图案了（图8所示）。1809年，法国学院邀请克劳狄将他的实验进行演示。刚巧，当时的法国皇帝拿破仑（Napoléon Bonaparte）也参加了这次会议。实验给他留下了很深的印象，于是拿破仑拿出3000法郎给学院，以奖励能够给出令人满意的平板振动数学理论的第一人。直至1811年10月，奖金竞赛结束之日，仅有一名候选人参赛，她就是热尔曼（Sophie Germain）[唯一而勇敢的女性！]。而当时任评委的拉格朗日发现在她推导的运动微分方程中存在一个错误。[好眼力！]学院决定再度举办奖金竞赛，新的截止日期延长到1813年10月。热尔曼再度参加竞赛，并递交了修正后的微分方程。然而，学院并未授予她奖金，因为评委需要她将其假设能够被物理地证明。竞赛再度开始，热尔曼进行了第三次的尝试，尽管评委对她的理论并非完全满意，但热尔曼还是于1815年获得了奖金。事实上后来发现，她的微分方程是正确的，但是边界条件存在错误。[真是一错再错。]正确的边界条件由基尔霍夫（G. R. Kirchhoff，1824-1887) 于1850年给出。[终可盖棺定论矣。]
图7 克拉德尼振型图案实验
图8 平板振型图案之一
与此同时，方形柔性薄膜振动问题被泊松（Simeon Poisson，1781-1860) 所攻克，这一问题的解决有助于理解击鼓发声的原理。随后，圆盘薄膜振动问题被查博赫(R. F. A. Clebsch，1833-1872)于1862年所解决。（二维膜和板的区别就如一维弦和梁的区别。）此后，振动研究进行了大量的机械和结构系统的实践性工作。1877年瑞利（Lord Baron Rayleigh，1842-1919）发表了他的著作《声学理论》（The Theory of Sound）[参考文献9]。从今天的角度来看，该书仍是这一领域一流的经典著作。在瑞利诸多可称道的贡献中，尤其值得一提的是瑞利方法，它是一种通过采用能量守恒原理，找到守恒系统基频的方法。这一方法被证明是一种解决复杂振动问题，极有帮助的分析手段。基于此方法的一种扩展是瑞利·李兹法，它能够求解前几阶的特征频率。（瑞利法和李兹法都是求解连续系统固有频率和振型的近似计算方法之一。瑞利法仅能求第一阶模态，李兹法进行拓展，能求前几阶模态。）
[回后评]
从模糊到清晰，从离散到连续；
从简单到复杂，从一维到二维；
从抽象到具体，从水平到旋转；
从近似到精确，从一阶到多阶；
从十七世纪初到十九世纪末，
三百年间天才们奠定了科学的基石。
话说拿破仑为什么要在1809年拿出3000法郎来赞助一次振动理论研究，这里还有一段有意思的野史。1807年冬和1808年春，拿破仑曾率领法国军队入侵西班牙。在部队行军中经过一座铁链悬索桥（Angers Bridge），随着军官雄壮的口令，队伍迈着整齐的步伐逐渐接近对岸时，轰隆一声巨响，大桥塌了，士兵、军官、物资纷纷落水。从此，世界各国的军队过桥时，都不允许齐步走，必须用凌乱无序的碎步通过。以史为鉴！
向上滑动阅览参考文献
[0] S.S.Rao, Mechanical Vibrations, 5th Ed., Prentice Hall, 2011, pp.3-10.
S.S.Rao 著, 李欣业 等译，机械振动，第4版，清华大学出版社，2009.
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