GD＆T培训｜基准偏移系列7：坐标变换｜GD&T几何尺寸和公差｜GDTP
前面我们用了多篇文章讨论了基准偏移这个话题，今天我们继续这个话题，今天涉及到的内容是坐标变换。
这次的话题数学味道比较重，各位小伙伴要有思想准备。因为我们发现，在深挖基准偏移这个话题的时候，数学（尤其是线性代数）是一个避不开的坎。
废话少说，直接说我们要解决什么问题吧。
已知零件图标注如下：
图1 图纸标注
当我们的质量部门收到图1这个实际的钣金件后（注意，这个钣金件不完美），放到影像仪上去测量φ14这个孔的位置度（图1中红圈部分），先不考虑每个孔的形状误差，假设我们已经测得了图1中3个孔的中心的坐标值（在机器坐标系中），见下图：
图2 在机器坐标系中3个孔的坐标
我们现在要解决的问题是，基于图2中的3个孔的坐标值（包括基准B孔，基准C孔和被测孔D孔），如何计算D孔的位置度误差？
注意，为了从简单的案例入手，我们故意选了薄壁的钣金件，一个2维的案例，所以没有Z坐标。
要得出图2中D孔的位置度误差（也就是实测位置度），思路非常简单，只要将实际的被测要素和理想要素进行比对，比对的方法采用最小区域法就能解决。
我们说人话呢，就是直接计算被测要素到理想要素的距离的2倍，就是位置度的几何误差了。（如果对这段话表示看不懂的小伙伴，建议看本文最后的链接《测量的本质》）。
被测要素的坐标，也就是图2中D孔中心的坐标，我们是清楚的，在机器坐标系中，PD的坐标为（56.31,52.59）。理想要素，也就是图1中φ14孔的中心PI的坐标，我们也是清楚的，在基准坐标系中，它的坐标为（20,17），见下图：
图3 理想要素在基准坐标系中的坐标
也就是说，我们现在知道了被测要素的坐标，理想要素的坐标，理论上是可以计算他们之间的距离的。
但是，目前还不能直接计算他们两个的距离。
为什么呢？
因为机器坐标系XAOYA和基准坐标系XBOYB不是同一个坐标系，我们没有办法直接计算的。
所以就涉及到今天的主题，坐标变换。
我们现在要做的，就是要把被测要素和理想要素这两个冤家放到同一个坐标系里边，才能去比对。见下面动画和图4.
动画1 把理想要素和被测要素放在一起
图4 把理想要素和被测要素放到同一坐标系
见图4，如果我们把理想要素放到机器坐标系XAOYA里边，只要求出理想要素在机器坐标系里边的坐标（xA1, yA1）, 再根据平面解析几何（或勾股定理），我们就可以直接求出图4中被测要素和理想要素的距离，再乘以2，就是位置度的实际测量值了。
问题是，如何计算出理想要素的新坐标（xA1, yA1)呢？
这个就是我们今天要讲的内容，今天的内容对探索基准偏移非常重要，我们后边发的基准偏移的文章，都是基于今天学的内容，建立合适的数学模型，才能有效的观察它的特点。
今天的内容分为三个部分：
坐标系，基和坐标
2. 坐标系的旋转和平移
3. 在同一坐标系下计算位置度
为了照顾到数学知识可能已经退化的小伙伴，我们从最基础讲起，本文前面两章可能有点啰嗦，对测量的软件工程师或者非标测量设备的软件工程师来说，这些都是最基础的内容，嫌啰嗦的话，建议直接跳到第3章。
1. 坐标系，基和坐标
我们常用的坐标系，就是笛卡尔坐标系。据说是一天，笛卡尔躺在床上，看到天花板上悬挂着一只蜘蛛，为了确定蜘蛛在空间中的具体位置，他提出了直角坐标系。
图5 笛卡尔和空间坐标系
为了方便理解，我们从最简单的平面直角坐标系开始理解，它是由两根相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴和y轴，平面中的任意一个点P，可以用一对有序数（x1, y1）来表示：
图6 直角坐标系中点的坐标
图6中这对有序数（x1, y1）就表示P点的坐标。
这些关于坐标系的知识是我们上初中时学过的内容。接下来，我们换一种方式来理解坐标系和点，那就是采用向量的方式来理解。
德辉学堂前面的文章中，我们学过单位矢量（或单位向量），也就是长度为1的矢量。我们把沿着x轴方向的单位矢量叫i, 沿着y轴方向的单位矢量叫j, 用列向量来表达则为：
显然，i和j是相互垂直的两个向量。
上面的单位矢量看起来高大上的样子，它其实在直角坐标系里，就是一个很短的矢量，相当于一个基本单元，见下图：
图7 沿坐标轴的单位矢量
注意，这个i,j有个专门的术语，他们是坐标系xoy的基（也叫自然基），这个基是基本单元的基的意思。
为啥这样说呢？因为那帮无聊的数学家们发现，直角坐标系中的任何一个点，都可以用i,j乘以一个系数后来表达。比如P点，就有
或者说，我们将直角坐标系中的任何一个点，都可以看成一个向量，它的方向是从原点指向该点，比如P点，我们把它看成向量，用向量表示则有
到这里，我假设各位小伙伴理解矩阵的数乘和加法的基本规则，比如说：
不理解也没有关系，观察上式，相信您可以看出规律来。
我们再回头来观察公式（1）：
图8 系数和基
从图8中，我们仔细观察P点，它其实是将i放大（或延长）x1倍，形成一个新的向量，那就是x1i，再将j放大（或延长）y1倍，形成新的向量y1j, 然后将两个向量相加合成后就形成了P：
其中，x1, y1可以为任意实数，可以大于1，也可以小于1，还可以是负数或者零。
注意，上式中的表达和图8中的公式表达，其实一样的。图8我们用向量的形式表达，公式（2）我们是用代数的形式表达。
重点来了，图8中或者公式（2）中的系数，也就是x1, y1, 就是点P的坐标, 我们写成（x1, y1）。
看到没？坐标是这样来的。
为了让大家更加容易理解公式（2）的几何意义，我们看动画，看看点P是怎么形成的（我又假设各位小伙伴理解矢量相加的平行四边形法则）。
动画2 基和坐标
事实上，直角坐标系平面上任何一个点（或者任何一个向量），都可以用自然基i和j乘以某个系数，也就是把基放大（延长）或者缩小（缩短）后再合成。
所有的这些点的组合就叫基i和基j的张量空间。
关键点在于，刚刚讲过的系数x1,y1, 就是对应点的坐标。
显然，不同的系数，对应不同的点。
我们再把公式（1）写在下面：
我们将上面的这个式子写成矩阵相乘的样子：
如果各位小伙伴忘记了矩阵的乘法公式，就看上面这个式子，记住它的规律。
式（3）中，等式左边有一个方阵，也是单位矩阵。当然，我们在《最小二乘法的数学公式中》介绍过，单位矩阵，类似实数中的1， 乘以任何矩阵，矩阵不变。
在本文中，这不是重点，重点是要仔细认识单位矩阵中的列向量，每个列向量的意义：
图9 矩阵中的列向量
我们仔细看图9，这是一个非常简单的矩阵乘法算式。但是我们要思考后面代表的几何意义：点P(x1,y1)的坐标，表示了P点在直角坐标系xoy中的具体位置，它是将单位矢量i放大x1倍，将单位矢量j放大y1倍，然后再矢量相加（平行四边形法则），才得到的P点！
也就是说，点的坐标和基，这两个东西，确定了点P在空间中的具体位置。
我们平时根据坐标（x1,y1）来找P点在坐标系中的具体位置时，本能告诉我们，画两条平行于坐标轴的线，相交得到P点，其实就是无意识的在利用上面的方法。
我们再捋一捋刚刚讲过的知识点：
1. 我们刚刚讲了如何确定点P在空间中的位置。因为有坐标系的存在，就决定了它的两个基的相对夹角（相互垂直）。
2. 然后有了P点的坐标(x1,y1)后，我们在分别把x轴的基i给它放大（延长）x1倍，y轴的基j给他放大（延长）y1倍，然后再用平行四边形法则合成，得到了P点的具体位置。
到这里，我们理解了坐标系，基和坐标的几何意义后，再往下走。
2. 坐标系的旋转和平移
本章我们分两部分来阐述，一个是坐标系的旋转，一个是坐标系的平移。
1）旋转
首先，我们假设有两个坐标系，一个固定不动的，我们叫母坐标系，比如机器坐标系，另外一个可能会动的坐标系，我们叫子坐标系，比如基准坐标系。见下图:
图10 母坐标系和子坐标系
如图10所示，我们将蓝色坐标系XAOYA叫母坐标系，而红色的XBOYB叫子坐标系。
在现实中，人们更加关心的是，子坐标系中的一个已知点P，在母坐标系中的坐标是多少？或者反过来，母坐标系中的已知点P，在子坐标系中的坐标是多少？
也就是说，要实现两个坐标系中点P的相互转化，是否有具体的公式直接转化？
答案是有的，这正是我们本章要讨论的内容。
显然，这个坐标转化，和两个坐标系之间的相对位姿（位置和姿态）有关系。所谓位置，就是两个坐标系原点之间的相对位置；所谓姿态，就是坐标轴之间的相对旋转夹角。
我们先来讨论姿态的影响。
假设子坐标系XBOYB和母坐标系XAOYA他们的原点重合，但是旋转了一个角度θ。见下面动画.
动画3 子坐标系纯粹旋转了θ角
这个时候，如果我们站在子坐标系XBOYB上看，xB轴和yB轴方向的基，也就是单位矢量，他们分别是：
显然他们和旋转无关。
但是如果我们换一个视角，站在母坐标系XAOYA上，观察子坐标系XBOYB的两个基iB和jB（子坐标系旋转过后），发现这两个基的在母坐标系上的坐标就变化了，见下动画4：
动画4 子坐标系的基在母坐标系
或者大家看下面这个静态图：
图11 子坐标系的基在母坐标系
我们将子坐标的基iB, jB放在母坐标系上看，见图11，我们用向量表示子坐标的基，则有：
在图11中，又因为自然基的长度是1，也就是:
仔细观察图11，再利用三角函数，我们很容易得出：
把上面的这4个式子和公式（4）结合起来，则可以得出：
公式（5）把子坐标系的基搞清楚了，我们再来看子坐标系中的P点的坐标。
图12 子坐标系中的点P
图12中，已知点P在子坐标系中的坐标为（xB1,yB1）,我们接下来要讨论P点在母坐标系中的具体位置。
我们现在站在母坐标系上，来仔细观察P， 看它的位置怎么确定的。
我们知道，任何一个向量乘以一个常数K，都是将该向量沿着原来的方向，长度被延长或者缩短至原来长度K倍。
图12中，我们第一章就讲过，P点位置的确定，我们是将子坐标系的基iB, 给他放大xB1倍，将子坐标系的另外一个基jB也放大yB1倍后，再相加合成（平行四边形法则）就形成了新的向量OP, 见下面动画。
动画5 P点位置的确定
我们将动画5的过程，写成向量相加的公式：
再结合公式（5），可以得出：
注意，以上的这些公式，是站在母坐标系上观察的。
我们设P点在母坐标系的坐标为P（xA1,yA1），见图13：
图13 母坐标系中的P
由公式（6）我们可以得出：
大家看到没有？上式中，我们隐隐约约可以算出P点在母坐标系中的坐标了！
我们再整理一下，将上式写成矩阵相乘的形式，可以得出：
我们再精简整理：
公式（7）非常非常重要！发烧友级的小伙伴一定要记住！因为通过公式7，我们搞来搞去，终于把同一个点P，在子坐标系中的坐标（xB1, yB1）和在母坐标系中的坐标（xA1,yA1），它们之间的映射关系给他搞通了！
如果我们把下面这个矩阵看成一个系数R:
然后把P点在子坐标系中的坐标位置叫PB, 在母坐标系中的坐标位置叫PA, 其中：
再结合公式（7）和公式（8），可以将公式（7）写成一个非常简洁的公式：
公式（9）简单不？如果我们知道一个点在子坐标系中的坐标PB, 要计算它在母坐标系中的坐标PA，乘以一个系数R就OK啦！
当然，公式（9）仅仅适用于纯粹旋转的情形，就是子坐标系和母坐标系原点重合，两个坐标系相互之间仅仅是旋转了一个角度θ的情形（这个θ可以带入公式8，把系数R给算出来的哦）。
还是不太理解怎么使用这个公式？看下面的例子.
例1如果有个P点，已知在子坐标系中的坐标是（4,3），假设子坐标系和母坐标系原点重合，子坐标系相对于母坐标旋转了30°，求P点在母坐标系中的坐标（xA1,yA1）？
先看动画：
动画6 例题
我们可以直接套用公式（7）：
所以，P点在母坐标系中，新的坐标是（1.96，4.60）。
有很多小伙伴可能觉得矩阵的乘法计算很复杂，其实很简单，用Excel的函数MMULT()可以直接搞定哦!
这里稍微要多说一下，那个充当系数角色的矩阵R
这个是一个2维的旋转矩阵，它左乘以任何一个点（或一个向量），就相当于把这个点（或向量）围绕坐标系原点O逆时针旋转θ度。如果θ从0开始变化到360度，对应的点也跟着绕原点绕360度旋转。见下面的动画：
动画7 旋转的点
有的文献将他称为SO(2), 它也是一个特殊的正交群（Group）, 那些无聊的数学天才们发现它有个对我们有用的特点，那就是该矩阵的转置等于它的逆矩阵：
公式（10）这个特点大家最好记住，可能对我们有用哦。这里我又假设您已经了解什么是转置矩阵和逆矩阵，如果不了解，点击本文后边的链接《最小二乘法的数学公式》，里边有介绍。
到这里，有的反应快的小伙伴可能要问了，在现实中，我们遇到的不可能都是纯粹的旋转啊，还有平移，或者平移加旋转这种情况，我们如何计算坐标变换呢？比如下面这个动画：
动画8 旋转加平移
这个时候，我们又该如何求P点在母坐标系中的坐标（xA1,yA1）呢？
不急，接下来，我们开始讲解本章第2节。
2）平移
我们直接讨论旋转加平移的综合作用的公式吧，因为我们的数学前辈们已经研究出来了。假设子坐标系相对母坐标系既有旋转角度θ，又有相对平移。见下图：
图14 坐标系旋转加平移
图14中，已知子坐标系xBOyB中点P的坐标（xB1,yB1），而且我们知道子坐标系xBOyB相对母坐标系xAOyA旋转了角度θ，而且子坐标系的原点红O在母坐标系中的坐标是（xBO_A, yBO_A），我们求P点在母坐标系中的坐标（xA1,yA1）?
这回不想啰里啰嗦的逻辑推导了，我们直接上公式吧：
这也是个非常非常重要的公式，有兴趣的发烧友最好记住。
为了帮助大家更好的记忆，我们再增加一个平移矩阵TBO_A, 命TBO_A为：
其实TBO_A就是子坐标系的原点O在母坐标系中的坐标了（见图14哦）。
还记得上一节那个纯粹旋转简洁的公式（9）吗？我写在下面：
我们结合公式(12)，公式（9），可以把公式（11）写成下面的形式：
公式13也是一个简洁的综合公式。因为子坐标系的最终位置是旋转和平移后确定的，这个公式刚好就体现了旋转加平移，R表示旋转系数（或旋转矩阵），TBO_A表示平移系数（平移矩阵）。
为了帮助大家记忆，看下图：
图15 坐标变换公式的含义
图15的公式中，如果子坐标系的原点O和母坐标系原点O重合，也就是有：
那么就是纯粹的旋转了，公式如下：
图15的公式中，如果θ=0，那么就没有旋转（旋转角度为0），就是纯粹的平移了，代进去可得：
公式（14）相信很多直觉好的小伙伴，马上就可以意识到它的正确性（就是自身坐标加原点坐标）。如果有兴趣的小伙伴可以用软件画一个图玩一玩。
还是举个例子吧。
例2 已知子坐标系xBOyB中点P的坐标是（4,3），而且我们知道子坐标系xBOyB相对母坐标系xAOyA旋转了30°，而且子坐标系的原点红O在母坐标系中的坐标是（3, 1），我们求P点在母坐标系中的坐标（xA1,yA1）?
图16 坐标变换案例
根据例子给的条件，我们不难得出，旋转矩阵R为：
平移矩阵为TBO_A：
代入公式：
则有：
所以，P点在母坐标系里的坐标为（4.96,5.6）。
可能对有些小伙伴来说，以上的计算看起来有些恐怖，再说一遍，如果熟练利用EXCEL的相关计算函数，它和我们用手按计算器没有任何区别哦。
如果您已经耐心看到这里，恭喜您，您已经具备了坐标变换的数学知识！现在我们要解决题目给出的问题就非常容易了，我们继续往下走。
3. 在同一坐标系下计算位置度
我们接下来就要利用我们刚刚讲过的数学知识计算位置度了。先来看一下图纸：
图17 设计图纸
这个是测量的数据：
图18 测量数据
现在我们的任务是，根据图18测量的数据，来评价图17中红圈处的位置度误差。
前面已经讲过，我们现在的目标是把理想要素和被测要素放到同一个坐标系里边，然后求出距离，再乘以2，就是位置度的几何误差了。我们其实有两种方法：
1. 把理想要素放到机器坐标系里边，去和被测要素比对。
2. 把被测要素放到基准坐标系里边，去和理想要素比对。
两种方法都是可行的，篇幅原因，本文只讲第一种方法，因为我们可以直接用前面讲过的理论。至于第2中方法，需要用逆矩阵转换一下公式（三坐标测量设备都是用第2种方法），有兴趣的发烧友可以自己思考，推导不出来又确实有兴趣的小伙伴可以微信我。
首先我们要建立基准坐标系。
因为B基准是第二基准，C是第三基准，所以我们必须把基准坐标系的原点放在B孔中心，BC的连线当成X轴，再过B点做一个垂直于X轴的线为Y轴。
建立好基准坐标系（子坐标系）后，然后在理论正确位置处放置理想要素。见下面动画：
动画9 建立基准坐标系
接下来，我们要做的就是计算动画9中的理想要素P在机器坐标系（母坐标系）中的坐标（xA1,yA1），见图19。
图19 理想要素P在母坐标系中的坐标
图19中，子坐标系原点的坐标，也就是B孔中心的坐标PB，决定了平移矩阵TBO_A，这个是已知的。
而旋转矩阵R是由旋转角度θ确定的，这个θ怎么算呢？
这个也比较简单，因为PB和PC的坐标都知道，我们可以直接算出来θ角。假设：
图20 计算旋转角θ
见图20，利用三角函数，不难计算出：
那么我们可以得出旋转矩阵R:
再根据简洁公式就可以计算理想要素在机器坐标系中的坐标了:
将上面的算式用EXCEL函数计算，可以得出：
在同一个机器坐标系下，我们知道了理想要素的坐标P（55.82,52.17），被测要素的坐标是PD（56.91,52.59），根据定位最小区域法，我们很容易算出被测要素的位置度几何误差D:
最后得出：D=1.289
当然，该孔的位置度是不合格的。
终于搞定！
如果您坚持看到这里，我觉得您是GD&T真正的发烧友，必须为您点赞！
这次的内容到这里就结束了，希望对您有所收获！
【后记】
今天的话题，我们只是把基准坐标系，基准和被测要素，开始尝试用把它们之间的数学关系建立起来，这里边还有很多有价值的话题可以挖。
1. 我们知道，一个平面上的物体或者特征，有三个自由度，两个平移，一个旋转，我们在表达坐标变换的时候，在公式当中，刚好有这三个参数：
图20 3个自由度参数
2. 从图20中可以看出，在一面两孔的基准系中，第二基准B，也就是我们常说的主定位孔，它确定了两个平移的自由度xBO_A,yBO_A。而我们通常认为，第三基准C限制了旋转自由度θ，事实上，旋转自由度θ并非第三基准C一个人决定的, 第二基准B也参与其中，也就是说，旋转的自由度是由B和C共同决定的，还记得公式（15）吗？我把它放在这里：
从上面公式相信大家可以看出来，第二基准B的坐标和第三基准C的坐标都会影响这个θ的大小。
3. 假设我们要分析加工部门在加工下图B,C,D三个孔的时候，位置度误差对哪个孔最敏感呢？
图21 位置度对三个孔的敏感度
这个时候，我们可以对B,C,D的X, Y坐标给一个扰动，比如λ，并命：
再带入坐标变换公式，看看对位置度的影响。欢迎有兴趣的小伙伴思考这个话题。
4. 最后一条，也是最重要的一条，如果位置度标注中，基准BC都带了M圈，那就意味着有基准偏移产生，基准偏移产生是因为B的坐标和C的坐标并不稳定，从而导致坐标系也不稳定，有一定的浮动量，这个浮动量会让位置度几何误差变得更小，那么我们应该怎么建模呢？这个问题，先留给大家思考，我们争取下次再来探讨这个话题。