平行线分线段成比例

◎ 平行线分线段成比例的定义
平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例。
推广:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论:
①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
◎ 平行线分线段成比例的知识扩展
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例。
定理推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。
◎ 平行线分线段成比例的知识点拨

证明思路:
该定理是用举例的方法引入的,没有给出证明,严格的证明要用到我们还未学到的知识,通过举例证明,让同学们承认这个定理就可以了,重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它,在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点,与直线2交于D、E、F三点

法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。

AM=DP,AN=DQ
AB=AM/cosA,AC=AN/cosA,∴AB/AC=AM/AN
DE=DP/cosD,DF=DQ/cosD,∴DE/DF=DP/DQ
又∵AM=DP,AN=DQ,∴AB/AC=DE/DF
根据比例的性质:
AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)
∴AB/BC=DE/EF

法2:过A点作AN∥DF交BE于M点,交CF于N点,则AM=DE,MN=EF.

∵ BE∥CF
∴△ABM∽△ACN.
∴AB/AC=AM/AN
∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)
∴AB/BC=DE/EF

法3:连结AE、BD、BF、CE

根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE, S△BCE=S△BEF
∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE
根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:
AB/BC=DE/EF
由更比性质、等比性质得:
AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF

◎ 平行线分线段成比例的教学目标
1、掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论,并能用其解题。
2、掌握基本定理的推导过程并能以之解题。
3、培养认识事物从一般到特殊的认知过程,培养欣赏数学表达式 的对称美。
◎ 平行线分线段成比例的考试要求
能力要求:掌握
课时要求:80
考试频率:常考
分值比重:2
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