2018武汉中考23，三角函数值的求法，半角的三角函数值

武汉的这题算不上难，但是比较有意思，主要不是在几何证明，而是在几何计算。关键的突破是线段长度的数量关系。如下图

第一问的很简单，是大名鼎鼎的一线三等角相似模型（也叫K字模型，三垂直模型或者其他叫法），倒角度，可得角度相等，进而得相似。答案略。

不过俗话说没有无缘无故的爱和恨，也没有无缘无故的第一小问。这一问为后面的解题提供了思路（即构造一线三等角相似。（具体点就是一线三垂直相似））。

第二问，就是这么做的，如下答案根据构造的三垂直模型，得到许多相似，设长度，用字母表示长度。最后把各个长度字母都统一为相同字母，就可以比（消字母）得比值。

具体答案如下图（网上的资源，好像是学科网）也不知道是不是标答。

但是这个方法比较繁琐（个人觉得）用三次相似，而且在画圈部分需要十字相乘（超纲？）。笔者第一次做的时候想到一个有趣的解法，也不知道合不合适，会不会给满分，在这分享给大家。请高人斧正。

首先我们介绍一个简单结论，如下图，这个是互余角的正切值的关系（当然是根据初中三角函数的定义得到的，这不算超纲吧，当然也可以得到余弦，正弦的关系这里用不到）。

然后第二问中有这样的关系，图二。已知的那个正切值的角和2倍角C互余。所以得到2角C的正切值。接下来大家可能猜到了，要用这个二倍角求角C的正切值。但是二倍角公式是高中的东东，肯定不能用啊。

这里我们再介绍已知一个角的正切，求他的一半角的正切的方法（初中方法）。笔者多次在讲三角函数的时候见过这道题，原题是求15度的正切值，其实可以推广到求任意角度的一半角的正切。，如下图，我们要求贝塔角的一半的正切，就以贝塔角为顶角的外角构造等腰三角形。然后轻易得到贝塔一半角的正切。（这个方法也没有超出初中范围啊）

同样的方法也可以求一半角的正弦，余弦。如下图

下图这是，求角C的正切的过程简写。

设边长的时候加个a显得更加严谨。这样感觉没那么繁琐只需两步，第一步根据互余得到2角C的正切，第二步，画图，由2角C求角C正切（不知道能不能给满分）

这题的第三问同样是构造三垂直相似，然后设边长用字母表示，统一字母。感觉比第二问还简单，（简明）

需要注意的就是这里涉及了。平行线分线段成比例的知识，（相似那一章学的，但是很容易被相似的光芒掩盖而忽视）

答案如下图：