2018云南中考压轴题23，截长，补短，同一法。同角平分线所成角模型

本题做起来也比较舒适（非原卷截图，ABCD不知道为啥子画的像个矩形）

第一问很简单，三角形和平四同底同高（AB为底）面积是2倍关系（即使E不为中点也是）。

我们看第二问。

题中的线段和AF=AD+FC的条件很扎眼。我们清楚的知道，证明线段和问题要用截长，补短法（两种方法）。

GGB作图演示：2018中考云南压轴题23（点击查看作图过程，轻松学）

我们先说补短法如下图，显然全等（平行线中点全等模型），相当于把AE补到CG位置，FG=FA，三角形FAG为等腰。，然后对应角，角G=角DAE且角G=角FAE，就得到了平分。

GGB作图演示：2018中考云南压轴题23（点击查看作图过程，轻松学）

（平行线中点全等模型），三角形FAG为等腰

（平行线中点全等模型），三角形FAG为等腰

（平行线中点全等模型），三角形FAG为等腰

然后我们试试截长法，如下图截取AG=AD，应该也有全等如图。

GGB作图演示：2018中考云南压轴题23（点击查看作图过程，轻松学）

这里我用一下同一法（很少见），这是类似反证法的一种非常见证明方法。都是间接证明方法。

这个同一法则是否满足呢？我们可以这样解释，原命题的逆命题是，AE平分角DAF（E为中点作为前提）则可以证明两对全等（过程略），则AD+CF=AF，并且等价于，取AG=AD后CF=CG。

D点是相对确定的，G点确定，AG直线确定，直线AG与CB交点确定，F点唯一确定。（当然F点唯一不一定AF=AD+CF这个关系唯一）

接着，发现FG=FC时，F点往左一点，AD=AG确定，FG减小，CF增大，显然就不等了。往右同理类似。所以F唯一则AF=AD+CF这个关系唯一，所以这个方法是可行的。只要证明当AE平分角DAF（E为中点作为前提）则可以证明两对全等即可。

第二问的不同方法影响了第三问的思路。但是都是得到直角三角形。

如果如下图是截长法的画，易得EA,EF分别平分角DEG，角GEC，利用初一学的同角内部的两个角平分线应该等于这个角的一半就得到90度。

如果是补短则是利用等腰的三线合一得到垂直。

最后勾股即可（结合方程设CF=x）

综上本题用补短更加简单，但是截长补短作为伴生的两个方法绝大多数时候都是通用的。只不过有时候需要选择相对简单的方法。