由“无限”而产生的一个有趣的悖论，到底怎么回事呢？

希尔伯特的旅馆

这个问题说的是数学家希尔伯特提出的无限旅馆悖论：我们设想有一个旅馆，内设有无限个房间且已客满。这时来了一个新客，想订一个房间，没问题。把1号房间的旅客挪到2号房间，2号房间的旅客挪到3号房间，以此类推，就剩下了1号房间，新来的客人就住1号房间。也就是说无论后面来多少人，这个旅馆都可以安排得下。甚至是无穷个旅客来了照样安排得下，例如你可以把目前所有的旅客挪到奇数号房间去，这样就剩下偶数号的房间供这无穷个新来的客人使用。在逻辑上完全行得通，但也完完全全是矛盾的！

无限旅馆

康托集合论的创立顺利解决了它

一扯上无限，有趣的事情就说不完。其实在早期伽利略也研究过类似的问题：

正整数构成的集合与完全平方数集，这两个集合哪个更大呢？一方面，正整数集包括了所有的完全平方数，明显正整数集比完全平方数集大；另一方面，从一一对应的角度看，每一个正整数与一个完全平方数对应，伽利略当年使用了一一对应的思想，但可惜的是他并没有沿着这一思路更进一步的思考下去。最后他得出的结论是无限集是无法比较大小的。

德国数学家康托横空出世，创立了集合论并系统的研究了集合的大小（特别是无限集），这个集合的大小并不是我们平时所说的“大小”，而叫势，如果两个集合如果能建立一一对应的关系，我们就说它是等势的，这就是我们比较大小的方法。同时定义了能与正整数等势的叫“可数集”，否则叫“不可数集”。从以上这个例子可以看出，整体与部分有时是等势的。

对于“无限”的概念，一般人理解起来确实是非常有难度的，因为经常用我们的直觉去评判。对于上述问题中，旅馆的的总房间数量与奇数号房间数量是相等的，理解吗？就是刚刚说的整体与部分相等。千万不要拿有限集的知识来扰乱这里的思维哦！

虽然这一问题称为悖论，但事实上它们并不矛盾，而仅仅与我们的直觉相悖。在无限个房间时，“客满”与“无法入住新客人”两者其实并不等价。