压轴题打卡57：圆有关的综合问题讲解分析

如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若CF=4，DF=√10，求⊙O的半径r及sinB．

参考答案：

考点分析：

切线的判定．

题干分析：

（1）连接OA、OD，如图，根据垂径定理得OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，则OA⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线；

（2）先表示出OF=4﹣r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r²+（4﹣r）²=（√10）²，解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．

然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB²+OA²=OB²，即AB²+3²=（AB+1）²，解方程得到AB=4的值，再根据三角函数定义求出sinB．

解题反思：

本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义．

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