哥德尔的证明，一个人不能既当演员又当观众——数学思考录（四）
你一定知道“哥德巴赫猜想”，
你一定知道它至今仍“未解”，
你一定不知道它可以“无解”。
哥德巴赫猜想——任一大于2的偶数都可写成两个素数之和。
哥德尔不完备性定理——任何含有初等数论的形式系统内必然存在既不能证明也不能证伪的命题。
哥俩好：哥德巴赫&哥德尔
这“哥”俩一看就是命中注定。从某种意义上来说，“哥德巴赫猜想”很可能是“哥德尔不完备性定理”的产物，即自然数系统中不可证明亦不可证伪的命题。
这是近年来对科学所做的最伟大贡献之一——爱因斯坦
哥德尔到底是谁？这么说吧，爱因斯坦为物理基础开辟了一条新的道路，那么哥德尔就使数学基础发生了划时代的变化。哥德尔不完备性定理的地位如同广义相对论中的等效原理、量子力学中的不确定性原理以及计算机领域里的图灵停机问题。
循规如物理，仍有不确定之物；严谨如数学，必存不可证之题。
如果人的心灵会被化简为几条僵化的规则，那会是一件令人极度悲哀的憾事。幸运的是，哥德尔证明了，情况不会是这样。——霍夫斯塔特
哥德尔与爱因斯坦
历史总是相似，命运总是相惜。谈到爱因斯坦，人们想到的或许是玻尔，而爱因斯坦本人想到的是哥德尔。1905年，爱因斯坦在《论动体的电动力学》中提出狭义相对论，开创了物理学的新纪元；1931年，哥德尔在《论“数学原理”及相关系统中的形式不可判定命题》中提出不完备性定理，开创了数学的新纪元。1951年爱因斯坦为哥德尔颁发了首届“阿尔伯特·爱因斯坦奖”，称其工作是“近年来对科学所做的最伟大贡献之一”。至于后来呢，俩人就在一起了。
当然是在一起上下班，爱因斯坦曾说“去上班不过是为了和哥德尔一起走路回家”
爱因斯坦的相对论表明，所有的参考系中，物理规律都是等形式的，没有一个参考系比其它的更特殊。哥德尔的不完备性定理则表明，数学系统中总存在一些不可证明亦不可证伪的命题，没有一个数学系统比其它的更优越。由此看来，这一定理完全等价于数学中的“相对论”。
哥德尔与爱因斯坦谈笑风生
现在很少有人了解哥德尔不完备性定理，这不足为奇，因为当年哥德尔推翻数学和逻辑学的基本假设时，也很少有数学家能够理解它的复杂证明。但正如爱因斯坦所说，这是科学伟大的贡献，也是我们必然要正视的存在。
在接下来的多篇文章中，我们将一一展开哥德尔的数学证明。虽然不像物理那样新奇，让思维跳跃，但是数学的枯燥必使思想沉淀。
一致性问题
十九世纪，数学的日益发展和抽象化引发了一个十分严肃的问题：作为一个理论体系基础的一组公理是否是内部一致性的，是否能确保不会推出相互矛盾的定理?
以上是数学基本概念，需要注意的是，有矛盾的公理体系可以推导出任意命题都成立。例如，假设1+1=2和1+1=3两个矛盾的命题成立，则可以推出0=1，继而0=1=2=3=n，即任意数。
那个时代的数学，同物理学一样飞跃式发展，很多曾付出极大努力而无所收获的基本问题得到了解决。例如，2000多年前希腊人提出的三大尺规作图问题：三等分角、倍立方体及化圆为方，终于从逻辑上证明是不成立的。
尺规作图与五种运算的对应：加减、乘除及开方。
三大尺规作图问题的实质在于特定方程的根的类型，这催生了伽罗瓦的群论，促进了对数的性质和连续统结构的研究，为数学系统填补了新的逻辑基础。
伽罗瓦理论：用群论的方法来研究代数方程的解。
千年之问的解决，让希尔伯特意识到，数学理应是一致性的，于是他提出了建立数学大厦的构想：完善坚实的数学公理体系，证明一切存在的命题。
你能通过纯思维找到答案，因为在数学中没有不可知。——希尔伯特。
或许上帝是掷骰子的，历史总喜欢开玩笑，因为阻碍希尔伯特构想进程的同样也是希腊人提出的另一个问题——平行公理到底能否从欧几里得的其他的公理中推导出来？这一问题直接关系到了欧氏几何的一致性和完备性。
欧氏几何平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与之平行。
最终这个问题由罗巴切夫斯基和黎曼创立的非欧几何，证明了在欧氏几何中从其他公理推导出平行公理是不能被证明也不能被证伪的。确切的说，平行公理其实是决定非欧几何和欧氏几何的公理基础，是区分二者的分界线。
罗氏几何平行公理：过直线外一点，有无数条直线与之平行。
黎曼椭圆几何的一致性问题：通过建立椭圆几何与平面几何的一一对应关系，将椭圆几何公理中的“平面”对应为一个欧氏几何球面，将“点”解释为在球面上的顶点，而“直线”解释为球面上的一个圆等等。每一条椭圆几何的公理都变成了一条欧几里得定理。因此，欧氏几何的一致性可以保证椭圆几何的一致性。
黎曼几何平行公理：过直线外一点，没有直线与之平行。
问题在于非欧几何中是否仍存在像平行公理这样不可证明或证伪的命题？欧氏几何的一致性怎么证明？为了最终解决一致性问题，一劳永逸地消除对数学基础以及数学逻辑可靠性的怀疑，希尔伯特在《几何基础》中建立了纯粹演绎系统和元数学理论，这时候哥德尔却告诉他，《几何基础》中最初的基础是错的，希尔伯特的数学大厦轰然倒塌。
数学：人类历史发展中不可替代的科学。
至此，什么是元数学理论？还有接下来哥德尔的重要工作，包括形式逻辑的编码、元数学的算术化以及哥德尔论证等内容，我们下篇再论。