一题一世界——知识、思想方法和观点三位一体

本文选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

求出 BC 的垂直平分线为 y = x ，则 B,C 关于直线 y = x 对称。

【点评 1】 A,B,C 三点不共线，若 A 在 B, C 的对称轴上，则 AB = AC ；反过来，当 AB = AC ，则 A 在 B, C 的对称轴上；进一步有 A 在曲线的对称轴 l 上， B, C 在 l 两侧，若 AB = AC ，则 B, C 关于 l 对称。此题 AB = AC ，且 xy = 1(x>0)关于直线 y = x 对称，则 B, C 关于y = x 对称。

【点评 2】两点关于直线对称，关键在于四个字——垂直平分，说明两点关于直线对称，通过点 A 在 BC 的中垂线，求出 BC 的斜率，进而求出对称轴。

【点评 3】【形成更高的观点】解析几何是用代数方法研究几何问题，那么遇到几何图形，我们把它代数化，所得坐标关系式的简洁程度和处理的简便性，就是解析几何的精妙所在，处理等边三角形，相比边长相等，用高与边长的倍数关系，关系式更容易处理。

改编 1：对称性的考查

改编 2：把等边三角形放在不同的曲线中

改编 3：改变三角形的形状——直角三角形

改编 4：一般化，改为等腰三角形