三角形（二十七）

我们再来看一些例子。

例 在边长为1的正方形ABCD的边AB上取点P，边BC上取点Q，边CD上取点M，边AD上取点N，如果AP+AN+CQ+CM=2，求证：PM⊥QN。

本题的题眼一目了然：AP+AN+CQ+CM=2。一般说来这种看起来很怪的条件都是题眼，当然，如果一个题目从头到尾都很怪，那么它可能就是IMO的题目了。。。

那么这个奇怪的条件怎么用起来？

通常情况下，像这样的证明垂直关系，很容易想到的就是平移的手段：把QN和PM平移到同一个三角形中去，或者找一条线段和PM或者QN其中一条平行，和剩下一条线段有个公共顶点，然后看看有没有勾股定理的逆定理可以用（本题也可以用平移方法证明，留给读者自行完成）。

这样想的理由是由于有线段的长度关系，四条已知线段长度和恰好等于正方形周长的一半，而勾股定理是通过计算证明垂直的唯一路径，所以过N做NE∥PM，然后试图证明NE⊥QN是很自然的思路。

没错，就是这么暴力。

但是你只要开始计算你就会发现这条路计算量有点大。这里有四条线段的和，所以实际上有三条线段的长度是可以任意变化的，只有三条长度定了，那么第四条线段长度才确定，此时你会发现DE、EQ、QN的长度的平方算出来的表达式会相当繁——就算做出来怕也是要算个半天。

千万别误会，这和我一直强调的第一思路走下去没有任何冲突。对于个体来说第一选择是有惯性的，但是从我的角度来说，我要面对的是不同的学生，每个人的第一选择有可能不同，何况如果能够通过我的讲解，你能够对70%以上的题目做到第一反应就能找到最优解，那不是更好么？

硬算的方法，可以视作没有办法的办法，这是保命用的。

我们来看有没有更好的办法？我们还是从最奇怪的条件AP+AN+CQ+CM=2入手，注意到AP和AN相邻，CQ和CM相邻，从对称的角度来看，如果我们要把四条线段分组，你会怎么考虑呢？

没错，很自然的想法就是AP和AN一组，CQ和CM一组，于是我们把条件改写成AP+AN=2-CQ-CM，考虑到CQ和CM所在的边分别是CB和CD，这两条线段和恰好是2，所以我们得到AP+AN=BQ+MD。

完了完了，原来还能CQ和CM还能连一起，这个BQ和MD怎么分这么开？所以我们想着，如果把MD和BQ拼一起，AP和AN拼一起，这样就会出来两条长度相等的线段。于是我们考虑延长MD到E，延长PA到F，使得DE=BQ，AF=AN，这样PF=ME。

我们发现，如果连接EF，就相当于把BQNA绕着A点顺时针了90°！此时QN变成了EF，而ME平行且等于PF，所以PMEF是平行四边形，从而EF∥PM，而QN⊥EF，所以QN⊥PM。

和上一个例子对比，我们有必要总结一下能够用旋转变换的题目的特点：首先这种方法比较难成为第一选择；其次在使用的过程中，往往是由于找全等发现本质上是旋转；第三，这类题目中条件的各个元素是分散开的，通过旋转能整合到一起。最后，相比构造全等，通过旋转直接可以得到对应线段之间的夹角就是旋转的角度，可以省很多的事。

你再对比一下用平移的方法，细细体会~