压轴题打卡156：相似有关的函数综合题分析

如图，已知抛物线y=﹣x²+2x经过原点O，且与直线y=x﹣2交于B，C两点．

（1）求抛物线的顶点A的坐标及点B，C的坐标；

（2）求证：∠ABC=90°；

（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；2·1·c·n·j·y

（4）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析：

（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、C的坐标；

（2）由A、B、C的坐标可求得AB²、BC²和AC²，由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形；

（3）过点P作PG∥y轴，交直线BC于点G，设出P点坐标，则可表示出G点坐标，从而可表示出PG的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P点坐标；

（4）设出M、N的坐标，则可表示出MN和ON的长度，由相似三角形的性质可得到关于N点坐标的方程可求得N点坐标．