“有温度的数学”——如何“跳出”操作反省动作？
以二年级上册二单元“退位减法”为例（图—1），说明如何建构“反身抽象”的数学课堂。研究主题：建立“退位减法”的竖式模型。核心问题：零根不够减怎么办？
抽象出退位减法的竖式模型是本课最终目标，前提是理解算理，退位减法的算理很难理解。难在要实现两种动作的协调，即反身抽象。
图—1
两种动作的协调，这是数学抽象（反身抽象）必须要完成的，否则获得的就不是数学知识。一种动作是“摆”小棒。用小棒完成“51－36”。另一种动作是“写”算式。用减法竖式表示“51－36”的过程。两种计数手段之间必然要进行沟通，这就让第一种动作显得很重要，因为它是思维的起点。所以授课教师要把一半的经历放在摆小棒上。其过程可以这样设计：
情况一：
创设情景：“北京奥运会中国获51枚金牌，美国获36枚金牌”
师：能提一个用减法解决的问题？
生：中国比美国多多少金牌？
师：要怎样算？
生：51－36
师：你是怎么想的？
生：求“中国比美国多多少枚金牌”，就要用中国的金牌数减美国的金牌数
师：你说的真好
师：如果用小棒表示中国的51枚金牌，该怎样表示？
生：需要5个整捆和1个零根的小棒
师：你是怎么想的？
生：“5个整捆”表示50枚金牌，“1个零根”表示1枚金牌
师：美国的“36枚金牌”怎样用小棒表示？
生：3捆零6根
师：你们也是这样想的吗？现在用小棒摆出“51枚金牌”，摆在桌面上（图—2）
生：
图—2
师：现在要从你们桌面上的“51根”小棒里减去36根（图—3）
图—3
师：先减谁？
生：先减零根的
师：把你桌面上1根小棒拿在手里，“1根怎么减6根？”
生：减不了…不够减
师：“1根减6根”不够减，怎么办？
生：先减整捆的
师：如果一定要先减零根的，你有办法吗？
生：用整捆减6根
师：你怎么想的？
生：1捆小棒是10根，10根能减6根
师：看来我们需要“借”1捆小棒，借哪捆，把它拿在手里
师：把1捆小棒打开放在桌面上，现在是多少个零根的小棒
生：11根（图—4）
师：你怎么知道？
生：数的
师：谁不是数的
生：1捆是10根，再加上原来的1根，是11根
师：你真爱动脑
图—4
师：现在从11根小棒里减掉6根，把减掉的6根小棒放在书桌里，还剩几个零根的（图—5）
生：5根
师：现在你的桌面上还剩几捆零几根小棒
生：4捆零5根小棒
师：
图—5
师：零根的减完了，接下来要减3捆（图—6）
师：把减掉的3捆放在书桌里
师：（用笔划掉黑板上3捆小棒）减完了吗？
图—6
师：现在你的桌面上还剩几捆零几根小棒
生：1捆零5根小棒
师：想一想我们刚才摆小棒的时候，先减的什么，后减的什么？
生：先减零根的，后减整捆的
师：减零根的时候遇到什么困难，你又是怎么解决的？
生：零根的不够减，借了1个整捆的……
师：像这样的过程还可以用竖式来表示
师：观察竖式，发现什么
生：个位1－6不够减
师：怎么办？（想一想，我们摆小棒时“零根的不够减……”）
生：向十位借“1”
师：你是怎么想的？（摆小棒时我们遇到过这样的困难吗？）
生：摆小棒时，零根的不够减借1捆（10根）
师：你立刻想到我们摆小棒的过程，真了不起。个位不够减，就要向十位借“1捆”，表示10
师：借的“1捆”在竖式里用“·”来表示
师：你知道这一点表示什么吗？
生：表示借“1”（因为它向十位借的1，表示1个十）
师：个位借到1个十，现在个位是多少
生：个位是11
师：你是怎么想的？
生：个位借到1个十，加上原来的1，是11
师：说的真清楚，我们在个位上标出“11”
师：十位被借走1个十，还剩多少
生：还剩4个十
师：4个十也要标出来（在你们的题卡上也标出来）
师：这回能算了吗？在题卡上自己完成（谁愿意到黑板上来算）
……
在这个过程中，“小棒操作”是一个非常关键的步骤，不但要会而且要熟练，因为学生建构竖式模型全靠它。在建构竖式模型的过程中，有两种动作要做好协调，这也就是“主体动作协调”，只有这样才会发生数学抽象，即反省抽象，通过反省抽象学生习得逻辑数学知识。两种动作分别是“摆小棒”、“写竖式”。摆小棒是前提，到底摆到什么程度呢？摆到学生能跳出操作反观操作，通俗一些讲，就是能用语言叙述操作过程。学生摆完小棒，要达到能回忆、能叙述、能发现。
然后还要发现，“刚才用‘5捆1根减3捆6根’时你遇到什么困难？”这才是对摆小棒动作的反思，我遇到什么困难，想一想，“1根减6根减不了”，这就是我遇到的最大困难。接着想，我们又是怎么解决的呢？想起来了，打开一个整捆的，就够减了……这样，操作完成，动作内化完成，在操作的过程中，学生的大脑也“同构”了一个这样的操作过程，这个在头脑中同构的操作成为接下来建构竖式模型的逻辑起点。这里说明的一点是，抽象的直接起点不是手上的操作而是头脑中的操作。所以，我们强调低年级操作的扎实和人人动手，要做到小步子、勤指导，为的就是能在动手操作的同时也能在头脑中进行动作“同构”，用皮亚杰发生认识论的观点来说就是“动作内化”。
接下来的竖式模型是难点，小棒减小棒的过程也可以用竖式来表示，无论是小棒还是竖式都是计数手段，这也恰好代表了算筹到符号的发展过程。而这一过程在数学哲学上叫“凝聚”，凝聚也是一种思维方式，包括内化、压缩、客体化。简单说，就是要将摆小棒的过程转化为对象，这个相对静止的对象就是竖式，这也就完成了数学学习的本质，“程序性观念”向“结构性观念”的转变。
面对竖式，观察与原来竖式有什么不同？发现个位不够减，可能学生会联想到刚才摆小棒时“零根不够减”的问题，如果部分学生想不到，老师或学生有启发的责任。因为只有这样，才会发生方法迁移，才会抽象出竖式。竖式出现以后，由于它是相对静止的对象，我们就要让这个静止的画面尽量呈现完整的动态过程。就是要在竖式上做好以下标记：退位，以及退位后各个数位上数字的变化，这些都要让学生标记清楚。
本课还涉及到一个问题，那就是“正面引导”与“迂回探索”的问题。摆小棒时，零根不够减，学生会想到“先减整捆的”，因为摆小棒时即使零根的不够减，先减整捆的、再减零根的，也不会麻烦。但这样一来，摆小棒对建构竖式模型来说就是一种障碍。所以此处，我觉得应该引导学生先减零根的。如果遇到这样的问题，老师可以直接过渡“你能先减零根的吗？”在低年级，还是要多一些正面引导。
儿童只有在“形式运算阶段”，才能真正掌握逻辑演绎。因为在“感知运动阶段”和“前运算阶段”，儿童的思维是非反思的和不系统的。这就是说，儿童所收集的每一个数据或考察过的每一个例子都被看成是彼此没有联系的孤立事件。而且，由于以自我作为认知的中心，因此，处于这一阶段的儿童既不设法去理解其他人的观点，也不去想如何使别人理解自己的观点，这样他们的思维就是非逻辑的。所以，在低年级老师要求的所谓的“检查、验算”之类的行为多数为徒劳，除非你指定他们检查什么，如空题。有时老师在低年级课上举出反例进行教学，其实学生都不知道你在说什么，低年级多正面引导，少用反例，高年级恰恰相反，要多“迂回”少正面讲解。