义务教育数学课程标准〔2021年版〕1
河南中考数学填选系列，请点击学习选择题1-2题 选择题3-4题 选择题5-6题 选择题7-8题 选择题9题 选择题10题 填空题11-12题 填空题13题 填空题14题 填空题15题河南中考数学解答题系列，请点击学习【中考数学】解答题系列1：化简求值题【中考数学】解答题系列2：统计图表分析判断题【中考数学】解答题系列3：与圆有关的特殊四边形动态探究题（含突破秘籍）【中考数学】解答题系列4：与圆有关的证明与计算【中考数学】解答题系列5：锐角三角函数应用题【中考数学】解答题系列6：与反比例函数有关的综合题【中考数学】解答题系列7：与方程、函数、不等式相结合实际应用题【中考数学】解答题系列8：新函数图象与性质的探究题（含有解析式）【中考数学】解答题系列9：与几何图形结合的新函数探究题河南中考数学解题研究系列，请点击学习【解题研究】（2021黑龙江28）动点、面积、平行四边形存在性【解题研究】（2021贵州贵阳25）数学文化·弦图·勾股树·探究【解题研究】（2021广西贵港26）旋转变换·手拉手·全等与相似【解题研究】（2021浙江衢州24）折叠·十字模型·分类讨论·全等与相似【解题研究】（2021黑龙江牡丹江、鸡西26）构造手拉手模型、特殊三角形、类比探究【解题研究】 (2021江苏常州27)几何新定义·全等三角形·几何变换综合【解题研究】（2021黑龙江佳木斯26）特殊三角形·斜边中线·全等与相似·几何探究【解题研究】（2021重庆A卷26）构造全等·构造中位线·特殊三角形·四点共圆【解题研究】（2021内蒙古鄂尔多斯24）旋转变换·半角模型·三爪图·构造全等【解题研究】（2021重庆B卷26）旋转变换·对角互补·解直角三角形·胡不归【解题研究】（2021河北26）旋转·勾股定理·全等与相似·综合探究【解题研究】（2021内蒙古赤峰26）旋转·手拉手·中点·类比探究【解题研究】（2021山东东营25）构造全等·斜中·平行线分线段成比例·类比拓展探究【解题研究】（2021陕西26）中点·面积·二次函数·最值第一部分 前言数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会消费和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的根底，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会消费力的开展。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的根本素养。作为促进学生全面开展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新才能方面的不可替代的作用。一、课程性质义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的根底课程，具有根底性、普及性和开展性。数学课程能使学生掌握必备的根底知识和根本技能；培养学生的抽象思维和推理才能；培养学生的创新意识和理论才能；促进学生在情感、态度与价值观等方面的开展。义务教育的数学课程能为学生将来生活、工作和学习奠定重要的根底。二、课程根本理念1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目的，要面向全体学生，适应学生个性开展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的开展。2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、考虑与探究。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经历，处理好直接经历与间接经历的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。3．教学活动是师生积极参与、交往互动、共同开展的过程。有效的教学活动是学生学与老师教的统一，学生是学习的主体，老师是学习的组织者、引导者与合作者。数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学考虑，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除承受学习外，动手理论、自主探究与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。老师教学应该以学生的认知开展程度和已有的经历为根底，面向全体学生，注重启发式和因材施教。老师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立考虑、主动探究、合作交流，使学生理解和掌握根本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得根本的数学活动经历。4．学习评价的主要目的是为了全面理解学生数学学习的过程和结果，鼓励学生学习和改良老师教学。应建立目的多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的程度，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。5．信息技术的开展对数学教育的价值、目的、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与施行应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改良教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探究性的数学活动中去。三、课程设计思路义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学考虑；充分考虑数学本身的特点，表达数学的本质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经历，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。按以上思路详细设计如下。〔一〕 学段划分为了表达义务教育数学课程的整体性，统筹考虑九年的课程内容。同时，根据学生开展的生理和心理特征，将九年的学习时间划分为三个学段：第一学段〔1~3年级〕、第二学段〔4~6年级〕、第三学段〔7~9年级〕。〔二〕 课程目的义务教育阶段数学课程目的分为总目的和学段目的，从知识技能、数学考虑、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述。数学课程目的包括结果目的和过程目的。结果目的使用“了解、理解、掌握、运用〞等术语表述，过程目的使用“经历、体验、探究〞等术语表述〔术语解释见附录1〕。〔三〕 课程内容在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数〞“图形与几何〞“统计与概率〞“综合与理论〞。 “综合与理论〞内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经历，进步学生解决现实问题的才能。“数与代数〞的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等。“图形与几何〞的主要内容有：空间和平面根本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形根本性质的证明；运用坐标描绘图形的位置和运动。“统计与概率〞的主要内容有：搜集、整理和描绘数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进展简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。“综合与理论〞是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数〞“图形与几何〞“统计与概率〞等知识和方法解决问题。“综合与理论〞的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。在数学课程中，应当注重开展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算才能、推理才能和模型思想。为了适应时代开展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重开展学生的应用意识和创新意识。数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述详细情境中的数量关系。符号意识主要是指可以理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进展运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进展数学考虑的重要形式。空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描绘的实际物体；想象出物体的方位和互相之间的位置关系；描绘图形的运动和变化；根据语言的描绘画出图形等。几何直观主要是指利用图形描绘和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探究解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。数据分析观念包括：理解在现实生活中有许多问题应领先做调查研究，搜集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；理解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择适宜的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次搜集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。运算才能主要是指可以根据法则和运算律正确地进展运算的才能。培养运算才能有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。推理才能的开展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的根本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经历和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实〔包括定义、公理、定理等〕和确定的规则〔包括运算的定义、法则、顺序等〕出发，按照逻辑推理的法那么证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探究思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联络的根本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或详细情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，进步学习数学的兴趣和应用意识。应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合理论活动是培养应用意识很好的载体。创新意识的培养是现代数学教育的根本任务，应表达在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的根底；独立考虑、学会考虑是创新的核心；归纳概括得到猜测和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。第二部分 课程目的一、总目的通过义务教育阶段的数学学习，学生能：1. 获得适应社会生活和进一步开展所必需的数学的根底知识、根本技能、根本思想、根本活动经历。2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联络，运用数学的思维方式进展考虑，增强发现和提出问题的才能、分析和解决问题的才能。3. 理解数学的价值，进步学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。总目的从以下四个方面详细阐述：知识技能●经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的根底知识和根本技能。●经历图形的抽象、分类、性质讨论、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的根底知识和根本技能。●经历在实际问题中搜集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的根底知识和根本技能。●参与综合理论活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经历。数学考虑●建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算才能，开展形象思维与抽象思维。●体会统计方法的意义，开展数据分析观念，感受随机现象。●在参与观察、实验、猜测、证明、综合理论等数学活动中，开展合情推理和演绎推理才能，明晰地表达自己的想法。●学会独立考虑，体会数学的根本思想和思维方式。问题解决●初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，进步理论才能。●获得分析问题和解决问题的一些根本方法，体验解决问题方法的多样性，开展创新意识。●学会与别人合作交流。●初步形成评价与反思的意识。情感态度●积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。●在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克制困难的意志，建立自信心。●体会数学的特点，理解数学的价值。●养成认真勤奋、独立考虑、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。总目的的这四个方面，不是互相独立和割裂的，而是一个亲密联络、互相交融的有机整体。在课程设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目的。这些目的的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐开展有着重要的意义。数学考虑、问题解决、情感态度的开展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目的的实现。二、学段目的第一学段〔1~3年级〕略第二学段〔4~6年级〕略第三学段〔7~9年级〕知识技能1．体验从详细情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算〔包括估算〕技能；探究详细问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进展表述的方法。2．探究并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的根本性质与断定，掌握根本的证明方法和根本的作图技能；探究并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；探究并理解平面直角坐标系，能确定位置。3．体验数据搜集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率。数学考虑1．通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步开展空间观念；经历借助图形考虑问题的过程，初步建立几何直观。2．理解利用数据可以进展统计推断，开展建立数据分析观念；感受随机现象的特点。3．体会通过合情推理探究数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，开展合情推理与演绎推理的才能。4．能独立考虑，体会数学的根本思想和思维方式。问题解决1．初步学会在详细的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，进步理论才能。2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些根本方法。3．在与别人合作和交流过程中，能较好地理解别人的考虑方法和结论。4．能针对别人所提的问题进展反思，初步形成评价与反思的意识。情感态度1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 2．感受成功的快乐，体验单独克制困难、解决数学问题的过程，有克制困难的勇气，具备学好数学的信心。3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立考虑、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。第三部分 内容标准第一学段〔1~3年级〕略第二学段〔4~6年级〕略第三学段〔7~9年级〕一、数与代数〔一〕数与式1．有理数〔1〕理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比拟有理数的大小。〔2〕借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义〔这里a表示有理数〕。〔3〕理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算〔以三步以内为主〕。〔4〕理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。〔5〕能运用有理数的运算解决简单的问题〔参见例47〕。2．实数〔1〕理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。〔2〕理解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数〔对应的负整数〕的立方根，会用计算器求平方根和立方根。〔3〕理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。〔4〕能用有理数估计一个无理数的大致范围〔参见例48〕。〔5〕理解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进展近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。〔6〕理解二次根式、最简二次根式的概念，理解二次根式〔根号下仅限于数〕加、减、乘、除运算法则，会用它们进展有关的简单四则运算〔参见例49〕。3．代数式〔1〕借助现实情境理解代数式，进一步理解用字母表示数的意义〔参见例50〕。〔2〕能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。〔3〕会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入详细的值进展计算。4．整式与分式〔1〕理解整数指数幂的意义和根本性质；会用科学记数法表示数〔包括在计算器上表示〕。〔2〕理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法那么，能进展简单的整式加法和减法运算；能进展简单的整式乘法运算〔其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘〕。〔3〕能推导乘法公式：(a+b)( a- b) = a2- b2； (a±b)2 = a 2±2ab + b 2，理解公式的几何背景，并能利用公式进展简单计算〔参见例51〕。〔4〕能用提公因式法、公式法〔直接利用公式不超过二次〕进展因式分解〔指数是正整数〕。〔5〕理解分式和最简分式的概念，能利用分式的根本性质进展约分和通分；能进展简单的分式加、减、乘、除运算。〔二〕方程与不等式1．方程与方程组〔1〕能根据详细问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型〔参见例52〕。〔2〕经历估计方程解的过程〔参见例53〕。〔3〕掌握等式的根本性质。〔4〕能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。〔5〕掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。〔6〕*[0]能解简单的三元一次方程组。〔7〕理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。〔8〕会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。〔9〕理解一元二次方程的根与系数的关系〔不要求应用这个关系解决其他问题〕。〔10〕能根据详细问题的实际意义，检验方程的解是否合理。2．不等式与不等式组〔1〕结合详细问题，理解不等式的意义，探究不等式的根本性质〔参见例54〕。〔2〕能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。〔3〕能根据详细问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。〔三〕函数1．函数〔1〕探究简单实例中的数量关系和变化规律，理解常量、变量的意义。〔2〕结合实例，理解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。〔3〕能结合图像对简单实际问题中的函数关系进展分析〔参见例55〕。〔4〕能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。〔5〕能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系〔参见例56〕。〔6〕结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进展初步讨论〔参见例57〕。2．一次函数〔1〕结合详细情境体会一次函数的意义，能根据条件确定一次函数的表达式〔参见例58〕。〔2〕会利用待定系数法确定一次函数的表达式。〔3〕能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式 y = kx + b (k≠0)探究并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。〔4〕理解正比例函数。〔5〕体会一次函数与二元一次方程的关系。〔6〕能用一次函数解决简单实际问题。3．反比例函数〔1〕结合详细情境体会反比例函数的意义，能根据条件确定反比例函数的表达式。〔2〕能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式 (k≠0)探究并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。〔3〕能用反比例函数解决简单实际问题。4．二次函数 〔1〕通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。〔2〕会用描点法画出二次函数的图像，通过图像理解二次函数的性质。〔3〕会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。〔4〕会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。〔5〕*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。二、图形与几何〔一〕图形的性质[1]1．点、线、面、角〔1〕通过实物和详细模型，理解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等〔参见例59〕。〔2〕会比拟线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。〔3〕掌握根本领实：两点确定一条直线。〔4〕掌握根本领实：两点之间线段最短。〔5〕理解两点间间隔 的意义，能度量两点间的间隔 。〔6〕理解角的概念，能比拟角的大小。〔7〕认识度、分、秒，会对度、分、秒进展简单的换算，并会计算角的和、差。2．相交线与平行线〔1〕理解对顶角、余角、补角等概念，探究并掌握对顶角相等、同角〔等角〕的余角相等，同角〔等角〕的补角相等的性质。〔2〕理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画直线的垂线。〔3〕理解点到直线的间隔 的意义，能度量点到直线的间隔 。〔4〕掌握根本领实：过一点有且只有一条直线与直线垂直。〔5〕识别同位角、内错角、同旁内角。〔6〕理解平行线概念；掌握根本领实：两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么两直线平行。〔7〕掌握根本领实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。〔8〕掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 *理解平行线性质定理的证明〔参看例60〕。〔9〕能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线。〔10〕探究并证明平行线的断定定理：两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等〔或同旁内角互补〕，那么两直线平行；平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等〔或同旁内角互补〕。〔11〕理解平行于同一条直线的两条直线平行。3．三角形〔1〕理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，理解三角形的稳定性。〔2〕探究并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。〔3〕理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。〔4〕掌握根本领实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等〔参见例61〕。〔5〕掌握根本领实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等〔参见例61〕。〔6〕掌握根本领实：三边分别相等的两个三角形全等。〔7〕证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。〔8〕探究并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的间隔 相等；反之，角的内部到角两边间隔 相等的点在角的平分线上。〔9〕理解线段垂直平分线的概念，探究并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的间隔 相等；反之，到线段两端间隔相等的点在线段的垂直平分线上。〔10〕理解等腰三角形的概念，探究并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探究并掌握等腰三角形的断定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探究等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的断定定理：三个角都相等的三角形〔或有一个角是60°的等腰三角形〕是等边三角形。〔11〕理解直角三角形的概念，探究并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。〔12〕探究勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。〔13〕探究并掌握断定直角三角形全等的“斜边、直角边〞定理。〔14〕了解三角形重心的概念。4．四边形〔1〕理解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探究并掌握多边形内角和与外角和公式。〔2〕理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；理解四边形的不稳定性。〔3〕探究并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探究并证明平行四边形的断定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。〔4〕理解两条平行线之间间隔 的意义，能度量两条平行线之间的间隔 。〔5〕探究并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的断定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质〔参见例62〕。〔6〕探究并证明三角形的中位线定理。5．圆[2]〔1〕理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，理解等圆、等弧的概念；探究并理解点与圆的位置关系。〔2〕探究并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。〔3〕探究圆周角与圆心角及其所对弧的关系，理解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。〔4〕知道三角形的内心和外心。〔5〕理解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探究切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。 〔6〕探究并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等〔参见例63〕。〔7〕会计算圆的弧长、扇形的面积。〔8〕理解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。6．尺规作图 〔1〕能用尺规完成以下根本作图：作一条线段等于线段；作一个角等于角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作直线的垂线。〔2〕会利用根本作图作三角形：三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；底边及底边上的高线作等腰三角形；一直角边和斜边作直角三角形。〔3〕会利用根本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。〔4〕在尺规作图中，理解作图的道理，保存作图的痕迹，不要求写出作法。7．定义、命题、定理 〔1〕通过详细实例，理解定义、命题、定理、推论的意义。〔2〕结合详细实例，会区分命题的条件和结论，理解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。〔3〕知道证明的意义和证明的必要性〔参见例75〕，知道证明要符合逻辑〔参见例64〕，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。〔4〕理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。〔5〕通过实例体会反证法的含义。〔二〕图形的变化1．图形的轴对称〔1〕通过详细实例理解轴对称的概念，探究它的根本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分〔参见例65〕。〔2〕能画出简单平面图形〔点，线段，直线，三角形等〕关于给定对称轴的对称图形。〔3〕理解轴对称图形的概念；探究等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。〔4〕认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。2．图形的旋转〔1〕通过详细实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探究它的根本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心间隔 相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等〔参见例65〕。〔2〕理解中心对称、中心对称图形的概念，探究它的根本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。〔3〕探究线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。〔4〕认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。3．图形的平移〔1〕通过详细实例认识平移，探究它的根本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行〔或在同一条直线上〕且相等〔参见例65〕。〔2〕认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。〔3〕运用图形的轴对称、旋转、平移进展图案设计。4．图形的相似[3]〔1〕理解比例的根本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例理解黄金分割。〔2〕通过详细实例认识图形的相似。理解相似多边形和相似比。〔3〕掌握根本领实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。〔4〕理解相似三角形的断定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。 *理解相似三角形断定定理的证明。〔5〕理解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。〔6〕理解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。〔7〕会利用图形的相似解决一些简单的实际问题〔参见例75〕。〔8〕利用相似的直角三角形，探究并认识锐角三角函数〔sin A，cos A，tan A〕，知道30°，45°，60°角的三角函数值。〔9〕会使用计算器由锐角求它的三角函数值，由三角函数值求它的对应锐角。〔10〕能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。5．图形的投影 〔1〕通过丰富的实例，理解中心投影和平行投影的概念。〔2〕会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描绘简单的几何体。〔3〕理解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型。〔4〕通过实例，理解上述视图与展开图在现实生活中的应用。〔三〕图形与坐标1．坐标与图形位置〔1〕结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。〔2〕理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。〔3〕在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描绘物体的位置〔参见例66〕。〔4〕会写出矩形的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形。〔5〕在平面上，能用方位角和间隔 刻画两个物体的相对位置〔参见例67〕。2．坐标与图形运动〔1〕在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。〔2〕在直角坐标系中，能写出一个顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。〔3〕在直角坐标系中，探究并理解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。〔4〕在直角坐标系中，探究并理解将一个多边形的顶点坐标〔有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上〕分别扩大或缩小一样倍数时所对应的图形与原图形是位似的。三、统计与概率〔一〕抽样与数据分析1. 经历搜集、整理、描绘和分析数据的活动，理解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。2. 体会抽样的必要性，通过实例理解简单随机抽样〔参见例68〕。3. 会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描绘数据。4. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，理解它们是数据集中趋势的描绘〔参见例69〕。5. 体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差〔参见例70〕。6. 通过实例，理解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息〔参见例71〕。7. 体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。8. 能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进展交流〔参见例71〕。9. 通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势〔参见例72〕。〔二〕事件的概率1. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，理解事件的概率〔参看例73，例74〕。2. 知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率。四、综合与理论1．结合实际情境，经历设计解决详细问题的方案，并加以施行的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。2．会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进展交流，进一步获得数学活动经历。3．通过对有关问题的讨论，理解所学过知识〔包括其他学科知识〕之间的关联，进一步理解有关知识，开展应用意识和才能。