范里安微观经济学现代观点第九版中文课后题答案
内容简介
本书是范里安《微观经济学：现代观点》教材的学习辅导书，主要包括以下内容：
（1）整理名校笔记，浓缩内容精华。每章的复习笔记以范里安所著的《微观经济学：现代观点》（第9版）为主，并结合国内外其他微观经济学经典教材对各章的重难点进行了整理，因此，本书的内容几乎浓缩了经典教材的知识精华。
（2）解析课后习题，提供详尽答案。本书参考国外教材的英文答案和相关资料对每章的课后习题进行了详细的分析和解答。
（3）补充难点习题，强化知识考点。为了进一步巩固和强化各章知识难点的复习，每章参考了国内外的大量相关试题、作业和习题，精选了部分难题，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
第四章 效用课后题答案
1.课文中说，将某数字变为它的奇次幂是一种单调变换。那么，将其变为它的偶次幂是单调 变换吗?(提示:要考虑类似 f (u) = u2 的情形。)
【复习内容】单调变换。
【解题思路】
作者范里安在教材中指出:“单调变换是将一组数字转换为另外一组数字的方法，这种方法要保留转换前后数字的顺序不变。...单调变换和单调函数是一回事。”换一种表述方法 是:如果某既定偏好可用函数u =u(x1,x2)进行刻画，则可以对函数u进行复合(构造复合函数)比如 f (u) = f (u(x1, x2 ))，但要保证这个复合函数是正单调函数(即单调递增的函数)，即对u =u(x1,x2)进行正单调变换。所以说正单调变换和正单调函数是一回事。
因此，我们对原效用函数并不要求它是单调递增的，但对这个函数进行正单调变换后得到的新效用函数一定是单调递增的。原因在于正单调变换和正单调函数是一回事。
也正因为此，题目中的“将某数字变为它的奇次幂是一种单调变换”这种说法并不严格，
因为当幂指数等于 1 时，这正是原效用函数本身，但它不是正单调变换，否则这意味着要求 原效用函数必须为单调的。而我们必一定要求原效用函数是单调的，尽管我们通常这么要 求。所以，幂指数应将 1 除外。
通常情况下，u=u(x,x )≥0，因此f(u)=u2是(正的)单调变换，也就是说f(u)=u2 12
是单调递增的函数。
但是，也有可能存在u = u(x1, x2 ) ≤ 0的情形。举个例子，给某消费者两种商品，但这 两种商品都是他非常讨厌的，由于这种情形下，他的效用不可能为正，即u = u(x1, x2 ) ≤ 0。 所以该情形下 f (u) = u2 就不是(正的)单调变换，但它是(负的)单调变换，但根据我们
的目的，我们不考虑负单调变换的情形。
【参考答案】见上述解题思路中的最后两段文字。
2 . 下 列哪些是单调变换 ? ( 1 ) u = 2 v − 1 3 ;( 2 ) u = − 1 / v 2 ; ( 3 )) u = 1 / v 2 ; ( 4 ) u = l n v ;(5)u = −e ;(6)u = v ;(7)u = v (其中v > 0);(8)u = v (其中v < 0)。
【复习内容】单调变换。
【参考答案】
(1) 是(正的)单调变换。因为复合函数 u 是函数 v 的单调递增函数。判断依据: du / dv = 2 > 0 。以下题目的原因请类推。
(2 )v > 0时是(正的)单调变换，v < 0时是(负的)单调变换(即变换后得到的函数 u 是递减函数)，由于我们不考虑负单调变换的情形，因此自此以后凡是说到单调变换就是指 正单调变换。以下各题不再一一说明。
(3) v < 0时是单调变换，v > 0时不是。 (4)是单调变换(顺便指出，此题暗着v > 0的假设，否则u = lnv无定义)。 (5)是单调变换。
(6) v ≥ 0时是单调变换，v ≤ 0时不是。
(7) 和 (8) 请见 (6)。
3.课文中有个结论，即如果偏好是单调的，那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有 一个交点。你能严格证明这个结论吗?(提示:如果它与某条无差异曲线有两个交点，结 果会如何?)
【复习内容】单调偏好的定义;无差异曲线的特征
【参考答案】
反证法。假设这条对角线与一条无差异曲线交于两个不同的点:(x1,x2);(y1,y2)。由 于这两个点在同一条无差异曲线上，因此 ( x1 , x2 ) ~ ( y1 , y2 ) 。另外，这两个点都在该对角线 上，因此必有x1 > y1,x2 > y2或者x1 < y1,x2 < y2。不妨设x1 > y1,x2 > y2，由于偏好是单 调的，这意味着 ( x1 , x2 ) f ( y1 , y2 ) 。显然 ( x1 , x2 ) f ( y1 , y2 ) 和刚才得到的 ( x1 , x2 ) ~ ( y1 , y2 )矛盾。所以如果偏好是单调的，那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有一个交点。
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