欧拉常数:如何快速得到非常精确的连续自然数的倒数之和

连续自然数倒数之和是无穷级数的一类,也是一个非常有趣的级数,柯西,欧拉,伯努利都是处理无穷级数的高手,所以无穷级数的许多重要发现都与它们有关,对于自然数的倒数之和问题欧拉对此进行了研究,并得出了重要的欧拉常数γ,

我们都知道连续自然数的倒数之和是一个无穷发散的级数,前面的文章已经给出了详细的证明,对这样的一个级数问题,我们可以联想到反比例函数1/X,如下图所示

我们由此可以画出连续自然数倒数之和的图形

1+1/2+1/3+……+1/N的图形就是如下阴影部分

我们结合最简单的微积分知识,可以快速得出自然数倒数之和前4项的结果

它就约等于IN(5),

我们由此得出这个无穷级数就约等于IN(N+1)

我们对这个结论感到怀疑,它的误差到底有多大呢,欧拉对此进行了分析

欧拉发现两者的误差小于1,为什么呢

两者的误差就等于下图蓝色区域,这正好是1/X曲线上方的阴影部分

欧拉发现蓝色阴影部分的面积居然等于一个常数γ,这是一个非常了不起的发现

所以连续自然数的倒数之和就等于IN(N+1)+γ

你会发现随着n的增大,连续自然数倒数之和的值就越精确,如下N=5时得到

n=500000时,就得到非常精确的结果

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