有这样一种现象,在大城市很明显:在新课之前,班上常常一半以上的学生在培训机构提前学了,但又参差不齐。
正因为我们常常把新知的探究过程和解题的探究过程分离开来,导致了教学的很多浪费,限制了解题能力的提高。比如:
在初中学习方程时,很多做法都是通过对正反例反复强化去理解“含有未知数的等式”,导致了学生把方程的概念倒背如流,结果发现学生在面对一个新问题的时候,连方程的意识都没有。教学中不应该让学生去纠结方程的概念,而应该去理解方程的实质,从已知到未知,关键是要找到他们之间的联系,而方程的实质就是已知和未知之间的等量关系,也可以把方程理解用不同的方式讲述着已知或未知的同一个故事。引入合适的未知数,把相关变量都表示出来是构建方程的基本步骤。解三角形是由已知三个独立要素求解其他要素或相关要素的过程,方程就是基本工具,在小学,我们需要去实际问题情境中构建等量关系,高中时给了我们等量关系——正余弦定理、面积公式等,只是根据需要放在相应的三角形中。
二、探究新知的过程蕴含探究的方法和提升探究能力
我们期望通过解题追求数学教育的理想,绝不是让大家压缩知识形成的过程,专注于知识的应用——解题,即一些老师流行的“掐头去尾烧中段”,恰好相反,要更加关注知识形成和发展的过程,因为探究新知的过程蕴含探究思路的领悟和探究能力的提升,这对于解题是核心的,波利亚的解题策略第二步“拟定方案”就是在探索解题思路,比如“能想到一道与之相关的题目(类似、更容易、更特殊、更一般)” 等,从特殊到一般,从定性分析到定理刻画,以及华罗庚的“善于退,足够的退,退到最原始而不失去重要性的地方,这是学好数学的诀窍。”等等这些策略都可以在新知的探究过程中得到深刻的领悟,甚至形成系统性的研究思路。
三、理想课堂的探索与思考
由前面已经知道,解题能力的提高不仅仅局限于解题,这需要更多的老师去研究新课的教学,更多的学生不满足仅仅知道是什么,因为我们希望学生不仅仅是理解数学知识,更重要的是提高探究能力,形成看问题的观点和理念;我们也追求看待数学问题,有数学历史的宏观背景,有与其他学科的联系;解决数学问题,有哲学的智慧,生活的启发,文化的熏陶;我们还追求快乐的学习体验,喜欢数学课,喜欢数学。史宁中教授这样描述理想的数学教育过程:把握数学知识的本质、把握学生的认知过程;创设合适的教学情景、鼓励学生与他人交流;让学生在掌握知识技能的同时,理解数学知识的本质;感悟数学的思想、形成和发展数学核心素养。比如对于概念课,首先要弄清楚概念的本质,把具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计,对于数学内容,很难通过一节课或一个知识点就把数学的本质表述清楚;其次要知道学生知识的起点,建立新旧知识的联系,使得新概念同化到已有的观念系统中,或使已有的观念系统顺应新的概念;概念和思想都是抽象的,只有使抽象的东西获得具体事例的支持,实现“从思维的抽象发展到思维的具体,在思维中再现具体事物的整体性和具体性”,才能深入认识新概念和新思想,设计情景与问题的目的是启发学生思考,设计情景与问题的根基是数学内容的本质,情景与问题是多样的、多次层次的,情景与问题是联系在一起的,一个情景是否合适并不取决于情景本身,而在于所提出的问题能否揭示数学的本质,当然也可以设计一个情景,让学生在情景中自己提出问题,在这种情况下,老师的引导和启发就更加重要了,设计合适的情境与问题,引导学生用数学的眼光观察、发现问题,引导学生数学的语言描述背景、表达问题,引导学生用数学的思维分析问题、解决问题。在追求理想的教学过程中,没有一层不变的模式,根据内容的特点可以分为概念、定理、公式、习题、复习课等等,注意到不同板块知识的特点,又选择不同的方法,如立体几何可以在直观感知—操作确认—推理论证—度量计算四个层面展开,而统计概率却可以通过案例教学。下面选两节课与大家讨论:
1. 函数的概念
这是整个高中的核心概念,世界各国各有特色,对于概念的形成,我们的沪教版、人教A 版、苏教版也有很大的差异。人教 A 版从解析式、图像和表格三个不同角度给出三个实例,让学生分析、归纳,找出它们的共同点,通过抽象概括,得到函数概念,但编者在前两个实例已经直接给出了函数的概念。苏教版从表格、解析式和图像三个不同角度给出三个实例,直接告诉学生:在上述的每个问题中都有两个变量,当一个变量的取值确定后,另一个变量的值随之确定。根据初中学过的知识,每一个问题都涉及一个而确定的函数,这就是它们的共同点。把问题设置为:如何用集合语言来阐述上述 3 个问题的共同点?把共同点定位为:每一个问题均涉及两个非空数集 A,B;存在某种对应法则,对于 A 中任意元素 x,B 中总有一个元素与之对应,并画两个圈和箭头直观反映对应关系。沪教版要求学生从变量的对应关系来两个实例,由初中知识知这就是函数关系,进步叙述如下:
【思考 1】不同的呈现方式体现了对函数教学的不同理解,人教 A 版和苏教版都希望通过抽象概括形成函数概念,跨度太大,于是在每个实例给出了函数的概念;苏教版借助初中知识,要求学生用集合的对应关系表示出来,要求学生抽象出函数的基本构成要素。沪教版在章引言中说:高中数学中的函数概念比初中学过的函数概念更抽象、更精细、更准确。初中函数刻画的是两个变量之间的依赖关系,高中函数更强调两个集合之间的对应关系、函数的多种表达形式,及对函数一般性质的研究。以初中函数为载体,直接给出高中函数的概念。
人教 A 版的主导编写的是教材教法的专家,沪教版是华东师大数学系,苏教版是单墫,竞赛方面的专家。结合这三方面专家进行思考。竞赛方面的专家。结合这三方面专家进行思考。
2. 两角差的余弦公式
一、引入——提出问题
(一) 从数学内部发展思考
同角三角函数基本关系是在角相同的情况下研究三角函数式的关系,诱导公式是在角不同但有一定关系下得到的关系,
这个例子有一定难度,可以根据学生的情况,考虑改变一下数据,把这个例子放到后面作为作业,明确其价值。
二、探索公式结论——大胆猜想
三、公式的推导
(一)尝试证明——回到定义中去思考
(二)证明方法二——从结构上去思考
注:证明的方法常规有五种,可以在比较三种教材所采取的方法有所选择。
四、公式的应用
(一)公式的直接应用
这是公式最简单的应用,在运用过程中,注意从整体上去把握公式的结构,比如
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