量子理论的诞生和发展（35）: T 对偶和镜流形
作者：张天蓉
弦理论中的“对偶性”（duality）被认为是弦论研究的最重要发现，它指的是两个看似毫无关系的几何对象（或理论模型）却拥有相同的物理。在当今弦论尚处于研究发展、尚未被广泛认可的阶段，弦论学家们清楚地意识到，即使将来弦论被证明是错的，弦论中许多与数学及科学哲学相关的内容仍然会被留下来，而 “对偶性”必定是被留下来的理论精华之一。
理解物质世界的方法论既是一个哲学问题也是一个物理学的问题。弦论的对偶关系将看似完全不同的理论联结起来得到相同的物理学，这意味着宇宙大舞台中的、不同于传统粒子的“演员”也能产生相同的散射振幅以及其它可观测物理量。
传统物理学把物质世界归结为点粒子，弦论则是归结为弦。按照传统的经典物理学，点粒子或标准模型中的基本粒子，其特性用质量、电荷、色荷，自旋等物理量来描述，但点粒子没有大小可言，也不可能解释它们为什么有那些属性，若追根到底要解释的话，只能说是基本粒子的内禀属性。这“内禀”二字好像是将我们远远地挡在了粒子的内部之外，也就是粒子模型描述的“点”没有“内部”可言。既然无法言及内部结构，当然也解释不了描述点粒子的物理量从何而来，比如电子为什么会代有电荷？把它们归结为内禀就是与生具有，永恒不变的，娘胎里带来的“性质”，自然也不需要解释！
弦论有所不同，弦论学家认为弦是比点粒子模型更深一层的还原论，他们把解释原来的点粒子内禀属性当作己任之一。尽管目标尚未达到，但毕竟是一个美妙的目标和愿望。例如，基本粒子为什么有着各不相同的质量m，按照爱因斯坦相对论中的质能关系，质量m对应内部能量E。弦论则是通过描述弦的属性来得到其内部的能量属性。
图35-1：开弦和闭弦
弦可以是闭的，也可以是开的。闭弦是一个圈，开弦是一根有两个端点的线（见图35-1）。无论开弦闭弦，都可以规定一定的方向。不过，弦论不止一种，有的弦论用不同方向的弦代表不同的“荷”；也有的认为开弦的端点可以视为带荷的粒子：例如，一端可以是带负荷的电子，另一端可以是带相反电荷的正电子。第二次弦论革命后，理论物理学家威滕提出M理论，他用对偶性将5种不同的弦论统一在一个共同的10维（9维空间+1维时间）的框架里。
所有的弦论都包括闭弦。一般认为：只有闭弦的振动才产生引力子，开弦产生其它粒子。开弦或闭弦在10维时空中的运动，可以分解为其质心的运动及弦本身绕质心之振动两部分。由此看来，弦绕质心之振动是我们更感兴趣和必须关注的。
假设一根“弦”的长度为L，质量为m（图35-1中右边所示），它是由N个部分即由N-1个弹簧链接起来的长度为L的一串，或者说弦类似于一个有弹性的、长为L的橡皮绳（圈）。绳子的每一小部分如同一个谐振子，小振子的振动用相对位置变量σ 和时间变量 t 描述。对于开弦而言，σ 的变化范围从0到 p ；而对于闭弦来说，范围从0到2p（如图35-1右图所示）。
弦论学家认为，弦的质量m便来源于所有这些小振子的振动能量。于是，总能量E（或质量）就与弦的长度L有关，或者说与橡皮绳或某种材料的弹性系数（张力）有关。尽管弦长L应该是一个很小的数值，属于普朗克尺度范围，但这并不妨碍建立弦理论模型。
根据弦论定义的弦概念，一定长度的弦应该有一个最小质量，即所有谐振子都处于基态时的能量和。人们惊奇地发现，为了保证光子的零静止质量，弦论只能容许空间是一定的维度！最早的玻色弦论，空间维度只能是25；后来的超弦论，空间维度则只能是9。所谓的10维时空的弦论就是通过计算所得到的。
从图35-1对闭弦的描述方式来看，T对偶又可以称作“靶空间”对偶，它是关于不同空间之间的对偶。弦论将时空分成了普通3维空间x和额外维卷曲空间y，并将环面紧致部分用y方向的圆圈R表示。所有通常将弦论的9维宇宙简单画地成一个如同下图所示的花园中的水管。
图35-2：未绕圈闭弦和绕圈的闭弦
从卷曲空间的角度看，闭弦有两种不同形态：缠绕数w为0，或w不为0（见图35-2a和b）。当闭弦不缠绕额外维空间时，其质心作自由运动，如同花园里一个小飞虫，它可以在水管方向运动或绕水管运动，或者在两个方向之间运动。因此，其动量p可以是朝向3维空间方向，也可能是额外维方向，或者是两者之组合（图35-2a）。由于额外维度半径R小而卷曲，py是量子化的：即该闭弦在y方向的能量应该是 Ey ～ n/R（“～”表示二者存在着量化关系，下同）。有意思的现象发生于闭弦缠绕额外空间维y时（图35-2b），这时候多了一个整数 w，代表闭弦在R空间所缠绕的圈数。
缠绕闭弦除了在R方向（y）具有能量Ey ～ n/R之外，在x方向可以作整体滑动，这部分能量的最小值正比于弦的长度 L，弦越长，最小能量越大，所包含的“东西”更多。由于圆周长正比于半径，所以缠绕弦的极小质量正比于绕数与半径R的乘积：Ex ～ wR。
因此，缠绕的闭弦总能量来源于Ex 和Ey两套不同的能谱。粗略而言，前者以R为能级间隔，后者以1/R为能级间隔。R增大，Ex的能级间隔增大，但Ey的能级间隔减小；R减小时，情况则反过来。
图35-3：缠绕闭弦的总能谱
然而，物理测量方法并不能判别实验所得数据来自于哪套能谱，而只能通过测量散射振幅来得到总谱中各个能级之间的跃迁情况。如图35-3所示，总能量谱等于两套能量谱加到一起的结果。换言之，如果有两个不同的弦论系统，如果一个被认定是卷曲维的尺寸比较小：R1=a，那么另一个卷曲维的尺寸为R2=1/a便会比较大（见图35-4）。但是，这两个几何不同的系统的总能量谱却是一样的！因此，它们将表现出完全相同的物理性质。这就是所谓的“闭弦理论中的T对偶性”。
图35-4：闭弦的两个T对偶系统
T对偶显示的物理非常奇怪。因为R是以普朗克长度lp为单位，所以R=1=1/R意味着额外维的大小是 lp。由于两个T对偶系统是一样的，假如二者分别为R=10，1/R=0.1，这两个系统的物理性质也是一样的。于是，弦论得出一个非常令人惊讶的结论：不论卷曲世界是“粗”还是“细”，它们的物理规律是等效的。
图35-4是T对偶的最简单情形，很容易推广到6维平坦环面，也就是圆的乘积，只需要将R用多个Ri代替即可。六维的Ri环面与六维的1/Ri环面，几何尺寸完全不同，其物理属性是无法区分的。卡拉比-丘流形（link）被认为是6维额外卷曲空间最符合实际的理论模型。Philip Candelas等人在上世纪90年代发现了卡拉比-丘流形中的“镜像对称”流形，并将其用于枚举几何，计算卡丘流形上有理曲线的数目，从而启发数学家解决了一些长期的难题（link）。
弦论学者们已经证明：卡拉比-丘流形的镜对称就是T对偶性。当然，卡拉比-丘流形的镜像对称并不是通常意义下所说的“镜中之像”那种反演对称，而是指卡拉比-丘流形之间的一种特殊关系。这是一种很奇怪的“镜对称”：互为“镜伴”的两个流形虽然在几何上差别很大，拓扑形态也很不同，然而它们遵循T对偶性，在物理上却是不可区别的，意思就是说物理规律是一样的。
之后，丘成桐等三位数学家发表的SYZ论文，为“镜对称”提供了一个比较简单直观的几何图像。他们认为，卡拉比-丘流形基本上可以分成两个三维的部分，彼此以类似笛卡儿乘积的方式纠缠在一起。其中一个空间是三维环面，如果你将这个空间分离出来，并将它“倒转”后（将半径r变成半径1/r）再重组回去，就可以得到原来卡拉比-丘流形的镜流形。
将额外维的半径从R变成1/R，在物理上却没有区别，乍一听视乎不可理解。读者可能会问：这个额外维世界到底是多大？是R还是1/R？它是客观真实存在的吗？难道就没有一个办法准确地测量它？在“传统”几何学中，半径为R的圆与半径为1/R的圆是绝对不同大小的两个几何实体，在广义相对论的弯曲空间中，它们也应该是对应于两个物理规律不同的世界。然而在弦论中，它们却奇怪地互为对偶，反映同样的物理规律，这难道不令人困惑吗？
弦论专家并未因困惑而止步，反倒是认为这正表现了“弦”模型相对于“点”模型的魅力所在。在弦论看来，因为R所用的单位是普朗克长度lp，大约等于1.6162×10-35米。如果R=100，大约是10-33米数量级的话，另外一个对偶的R=0.01的小宇宙比普朗克长度还要小两个数量级。正是因为这种尺度，粒子物理的“点”模型碰到了难以克服的困难：广义相对论与量子力学之间显露出了矛盾，连续光滑的黎曼几何不能使用，广义相对论对时空中的小尺度量子涨落无能为力。
“点粒子”模型无法言及粒子半径也是一个短板，它只能认为粒子的几何尺度为0。这意味着可以用点粒子作为探针来分解和测量任意小的空间，但实际上这是不可能做到的，因为要受量子力学不确定性原理的限制，所以点模型在理论上就不能自圆其说。
弦论就聪明多了。弦不是一个点，而是一段具有伸展性的“弦”，它具有与普朗克尺度可比较的长度。弦作为最基本的元素，也能当探针使用。但是，对不起，它只能测量比它大的东西，普朗克长度以下的空间结构性质，弦是探测不到的，也很难去测量那么小的长度。所以，弦的延伸本性使我们不可能在弦论中探测普朗克长度以下的现象，诸如普朗克尺度下的什么“量子涨落”、黎曼几何灾难，都只能视而不见，探测不了。然而，按照量子物理的观念，只有可以探寻和测量的事物才是存在，而按弦论，普朗克长度以下的现象可以说是不存在的。要了解半径小于普朗克长度以下的空间，弦论有一个美妙的T对偶性，我们探索半径大于普朗克长度的空间就等于探索了更小的空间。