Dandelin双球系列一：平面与圆柱面的截面

愈来愈喜欢课本上的小字部分（探究与发现），因为一位同事的疑问，我看了看人教A版选修1—1，第36页的探究与发现中提到“为什么截口曲线是椭圆”，一发不可收拾，实际上也过去了好长时间，一有空闲时间，我便研究这类问题，现分享给大家。

生活中有太多这样的现象，当我们从茶壶中往水杯中倒水时；当我们喝水时，把水杯倾斜时；当我们斜方向砍下竹子时，都可以的到截面是椭圆的形状。

也就是说，当截面与圆柱面的轴垂直时交线是一个圆，当截面与圆柱面的轴成锐角时，交线为椭圆。

为什么是椭圆？如何证明？为了解决这个问题，我们先来看一个平面图形。

显然平面与圆柱面的截线是椭圆。利用上面的结论，我们猜想两个球与斜截面的切点可能是椭圆的两个焦点。

接下来我们证明：

将两个球嵌入圆柱内，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与圆柱面和斜截面均相切，这种解决问题的方法是比利时数学家 Dandelin 创立的，所以这两个嵌入的球被称为Dandelin 双球。

接下来，我们来看一道高考题：（忘了哪一年的了，记得是浙江卷）

解析：面积为定值即点P到线段AB的距离始终不变，是个定值。而我们知道在空间上到一条线段距离为定值的点的轨迹是个圆柱面，于是等价于考虑一个圆柱面被一个不与该圆柱的轴线垂直的平面所截得的截面的边界是什么图形的问题，由上面的分析可知轨迹是一个椭圆。

我们接着在看一道，地面放置一个球，阳光与地面所成角为60°，求球在地面上投影的离心率。

当一束平行光线向一只球投射时，光线经球后被遮挡住的空间区域是一个圆柱，此时，便可以把地面看作一个与光线所成的角是60°的截面。于是，这就转化为上面的斜截面截圆柱面问题，所得的截面的边界显然就是椭圆了。

当然，我们也可以借助于椭圆的面积来解决这一问题。

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