狭义相对论[需要使用引入张量的数学工具]
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如果飞船无限接近光速飞行，那么飞船里面的时间与外面会不同吗？
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产生背景
《狭义相对论》
狭义相对论 是在光学和电动力学实验同经典物理学理论相“矛盾”的激励下产生的。
狭义相对论
1905年以前已经发现一些电磁现象与经典物理概念相“抵触”，它们是：
①迈克耳孙－莫雷实验没有观测到地球相对于以太的运动，同经典物理学理论的“绝对时空”和“以太”概念产生矛盾。
②运动物体的电磁感应现象表现出相对性——是磁体运动还是导体运动其效果一样。
③电子的电荷与惯性质量之比（荷质比）随电子运动速度的增加而减小。此外，电磁规律（麦克斯韦方程组）在伽利略变换下不是不变的，即是说电磁定律不满足牛顿力学中的伽利略相对性原理。
拓展牛顿理论使之能够圆满解释上述新现象成为19世纪末、20世纪初的当务之急。以H.洛伦兹为代表的许多物理学家在牛顿力学的框架内通过引入各种假设来对牛顿理论进行修补，最后引导出了许多新的与实验结果相符合的方程式，如时间变慢和长度收缩假说、质速关系式和质能关系式，甚至得到了洛伦兹变换。所有这些公式中全都包含了真空光速。如果只为解释已有的新现象，上述这些公式已经足够，但这些公式分别来自不同的假说或不同的模型而不是共同出自同一个物理理论。而且，使用牛顿绝对时空观来对洛伦兹变换以及所含的真空光速进行解释时却遇到了概念上的困难。这种不协调的状况预示着旧的物理观念即将向新的物理观念的转变。爱因斯坦洞察到解决这种不协调状况的关键是同时性的定义，同时性概念没有绝对的意义。而牛顿时空理论（或伽利略变换）中的时间没有办法在现实世界中实现。为使用光信号对钟，爱因斯坦假定了单向光速是个常数且与光源的运动无关（光速不变原理）。此外，他又把伽利略相对性原理直接推广为狭义相对性原理，由此得到了洛伦兹变换，继而建立了狭义相对论。
基本假设
狭义相对性原理：一切物理定律（除引力外的力学定律、电磁学定律以及其他相互作用的动力学定律）在所有惯性系中均有效；或者说，一切物理定律（除引力外）的方程式在洛伦兹变换下保持形式不变。不同时间进行的实验给出了同样的物理定律，这正是相对性原理的实验基础。
光速不变原理：光在真空中总是以确定的速度c传播，速度的大小同光源的运动状态无关。在真空中的各个方向上，光信号传播速度（即单向光速）的大小均相同（即光速各向同性）；光速同光源的运动状态和观察者所处的惯性系无关。这个原理同经典力学不相容。有了这个原理，才能够准确地定义不同地点的同时性。
同时性相对性
如果在某个惯性系中看来，不同空间点发生的两个物理事件是同时的，那么在相对于这一惯性系运动的其他惯性系中看来就不再是同时的（时间是一个坐标数据，某个坐标系中“时间维坐标”相同的两个不同位置的点，在另一个坐标系“时间维坐标”不同是很正常的）。所以，在狭义相对论中，同时性的概念不再有绝对意义（坐标数据是没有绝对的，相同的一个点在不同的坐标系中4个坐标数据完全可不相同），它同惯性系有关，只有相对意义。但是，对于同一空间点上发生的两个事件，同时性仍有绝对意义（3维空间坐标相同的两个不同时空点，仍然是两个不同的时点；但是狭义相对论规定这两个不同时空点的时间维距离是等效的，规定是有绝对意义的）。
惯性系
使牛顿力学第一定律（惯性定律）成立的那类参考系称为惯性系。狭义相对论的公式和结论只在惯性系中有效。两个惯性系K和K'之间的坐标变换是洛伦兹变换：
《狭义相对论》
也可以写成洛伦兹群形式，这里不给出具体证明可根据群的定义验证洛伦兹变换，或者查找一本群论的教材。
式中（c就是一个单纯的数学数据，假定三维空间中时钟光子匀速直线运动1米，就是时间坐标数据“1秒/c”）为光在真空中传播的速度，v为K'系相对于K系的速度。
洛伦兹变换
洛伦兹变换是线性变换，把其中的时空坐标换成任意坐标间隔其形式不变。所以，洛伦兹变换中的时空坐标也可当成是任意坐标间隔，比如x,y,z 是在惯性系K中的移位，t是在惯性系K中的时间间隔，x',y’,z' 是在惯性系K’中的移位，t'是在惯性系K’ 中的时间间隔。这里K系和K'系被选成坐标轴互相平行且在初始时刻两系统的坐标原点重合，因而这里给出的变换是无空间转动的特殊洛伦兹变换。更一般的变换是把K'系统的坐标轴相对于K系做一任意的空间转动，相应的变换称为一般洛伦兹变换。另外，如果在初始时刻不使两系统的原点重合，则相应的变换就是在洛伦兹变换中每个公式的右边各加上一个常数（称为时空平移）使之成为非齐次的线性变换，它们称为彭加勒变换。
洛伦兹变换是狭义相对论中最基本的关系式，反映了时间和空间是不可分割的，要确定一个事件，必须同时使用三个空间坐标和一个时间坐标，这四个坐标（数据）所组成的空间称为四维空间（四维时空）。
在低速情况下，被观察的物质的速度也远比光速小，洛伦兹变换率约为“1'，退化为近似伽利略变换。相对论力学是由相对性原理（牛顿力学）和洛伦兹变换建立起来的，牛顿力学是狭义相对论的一种特殊形式（洛伦兹变换率约为“1'的情况下），在低速情况下狭义相对论性力学近似于牛顿力学。
速度相加定理
因为时空坐标的洛伦兹变换率不同和参照时钟的移动数据不同，所以合成速度不是简单的数学加减。
如果洛伦兹变换中的时间坐标和空间坐标描述的是某一物体的运动，则用时间变换式去除3个空间坐标变换式就得到爱因斯坦速度相加公式（对洛伦兹变换的三个公式关于时间求一阶导数）：
u'=(u－v)/(1－vu/c )
u'=u(1－v /c ) /(1－vu/c )
u'=u(1－v /c ) /(1－vu/c )
式中(u',u',u')为物体在K'系中的速度分别沿(x',y',z')轴的分量，(u,u,u)则为物体在K系中的相应速度分量，v则为K'系在K系中的速度，其中v应当为(v ,0,0)。此式为特殊洛伦兹速度变换，任意方向v变换请参考普遍洛伦兹变换。
爱因斯坦速度相加定理解释了A.斐索曾于1851年完成的流动水中的光速实验；1905年之后许多运动流体和运动固体中的光速实验也都在更高的精度上与爱因斯坦速度相加公式的预言相符。
坐标时和固有时
由同一只标准时钟记录的时间（间隔）称为固有时（间隔）；放在不同地点的两只标准时钟记录的时间之间的差值称为坐标时（间隔）。物理时间（指实际直接测量的时间）对应于固有时；而坐标时与同时性定义相关，不是直接的可观测量。这些是闵可夫斯基几何的内容，想要深入了解的读者，请翻阅刘辽教授，赵峥教授或梁灿彬教授关于相对论的著作！
由同一个光子在空间坐标系中匀速运动的直线为时间坐标轴刻度的时间坐标数据为固有时，独立选择光子在时空坐标系中匀速运动的直线为时间坐标轴刻度的时间坐标数据为固有时等效时，也称坐标时。
时间膨胀
狭义相对论预言（这不是预言，而是数学假设、数学逻辑的结果），运动时钟的“指针”行走的速率比时钟静止时的速率慢，这就是时钟变慢或时间膨胀效应。考虑在K系中的某一点静止不动（即空间坐标间隔为零：x=0，y=0，z=0）的一只标准时钟，此时洛伦兹变换中的前三个方程给出：
x'=vt'，y'=0，z'=0
这是时钟在K'系中的运动轨迹，即时钟以不变速度v沿x'轴的正方向运动。洛伦兹变换中的第三个方程给出（如下图）：
《狭义相对论》
式中t是给定时钟显示的时间间隔，因而是固有时。由于时钟的速度v总是比光速c小，该式中的1/(1－v /c ) （即膨胀因子）大于1，因而t'>t，即在K'系中看来运动的时钟走慢了。但t'是坐标时，因为它是K'系中两个不同地点的时钟记录的时间之差，所以上面所谓的时间膨胀实际上是说“固有时比坐标时小”。直接的实验验证包括飞行μ子寿命增长和环球飞行原子钟速率减慢。
动量与能量
相对论中，动能定理仍然成立，但动能形式有所不同，动量定义仍为质量与速度的乘积。质能关系大大拓展了人们对于质量和能量这两个概念的认识，把质量的变化和能量的变化联系起来。两者关系为：
《狭义相对论》
核反应中所释放的巨大能量，正是前后粒子质量的微小变化（亏损）的结果。原子弹和核反应堆就是根据这一原理制成的。尽管质能关系是爱因斯坦的一种假设，但已成为大量实践所证实，它为人类开发利用能源提供了一条新途径。
质速关系
《狭义相对论》
当粒子接近光速，实验发现其质量迅速变大，这是相对论的一个重要结果。现以一对粒子的完全非弹性碰撞为例来说明这一点，并导出质速关系。
设在S'系中有一对全同粒子A,B沿x'轴相向运动，速度均为v正碰后成为一个复合粒子，且静止不动[图15.5.1(a)]，设s’系以速度v沿同一直线相对S系运动，在S系中B静止不动，粒子A以V速度运动，其速度V可由速度变换求得，为
《狭义相对论》
（1）
剩余推导过程如图。
《狭义相对论》
（2）式应该为m（V）/m。=V/（V-v）
质速关系部分推导1
《狭义相对论》
质速关系部分推导2
此式即为质速关系，它与实验完全符合。
相对论动量
相对论中，动量定义仍为质量与速度的乘积。但质量是是速率的函数，于是动量
《狭义相对论》
其实相对论动量的概念在上文导出质速关系时已经用到过。
相对论能量
相对论中，力被定义为动量的时间变化率，即
《狭义相对论》
由于质量是速率的函数，所以F=ma不再适用。
相对论中，动能定理仍然成立，设F沿粒子方向施加于粒子。力的元功
《狭义相对论》
部分推导如图
《狭义相对论》
相对论能量部分推导
两边积分，得
《狭义相对论》
若取初态v1=0，则Ek1=0，终态v2=v，对应动能Ek，其质量m(v)，则有
《狭义相对论》
m0c^2与粒子处于静止状态的能量相对应，称为粒子的静能。m（v）^2为粒子处于运动状态的能量，数值上等于Ek与静能之和。爱因斯坦把m（v）c^2称为粒子的总能量。Ek便是相对论能量。牛顿力学中的能量便是相对论能量在v<<c时的特例。
多普勒效应
时钟变慢直接导致相对论性的多普勒效应（多普勒频移）。当光源同观察者之间有相对运动时，观察者测到的光波频率将同光源静止时的光频有差别，这种差别称为多普勒频移。经典理论也预言了多普勒频移，但狭义相对论的预言同经典理论的预言不同（同一个数学结果，不同数学方法解题）。两种预言之间的差别是由运动时钟的速率不同于静止时钟的速率造成的，也就是时钟变慢效应造成的。
光线的频率和传播的方向在洛伦兹变换下分别按如下公式变换：
ν'=(1－v·cosθ/c)(1－v /c )cosθ'=(cosθ－v/c)(1－v·cosθ/c)
式中ν和ν'分别为在K系和K'系中测得的光波频率，θ和θ'为光线的传播方向分别与x轴和x'轴的正方向之间的夹角。当θ=90°（即垂直于光线方向）时，
ν'=v/(1－v /c )
这就是横向多普勒效应（牛顿经典物理学没有这种效应）。横向（或二阶）多普勒效应实际上来自时间膨胀效应，它们已被很多实验直接证实。
长度收缩
洛伦兹变换率假设
考虑放在K'系x'轴上的一根长杆，其长度称为固有长度l≡x′。但在K系看来，这根杆子是运动的，运动杆子的长度定义为同时（即时间间隔t=0）测量杆子的两端所获得的空间坐标间隔。此时，洛伦兹变换给出：l≡x，运动杆子的长度变短了(l<l) 。如果以l表示杆子的静止长度，l表示运动时的长度，v表示杆子的运动速度，则（如下图）：
《狭义相对论》
宇宙线μ子寿命的增长也可用长度收缩的观点解释。
相对论力学
牛顿力学在狭义相对论下的数学表达式：修改了速度数据，必须修正质量数据，才能保证F=ma；修改了质量数据，动量、动能数据注定要改写。
按照狭义相对性原理，力学定律在洛伦兹变换下保持形式不变。为此，牛顿力学第二定律F=ma应当改写为：
F=dp/dt，式中p=mu为物体的动量，u是速度。相对论力学中，物体的惯性质量分为静质量m和相对论质量m，两者的关系式称为质速关系：
《狭义相对论》
m与m两者之差可以定义为动质量m=m－m狭义相对论预言，物体的惯性质量随其运动速度的增加而加大，速度趋于光速时，惯性质量趋于无限大。
类似地，物体的能量分为固有能量E和相对论能量（总能量）E。动能K是总能与固有能量之差：K=E－E。能量与质量之间的关系式简称为质能关系，即：
E=mc
E=mc
动量、总能量、静质量可组成下面的不变量（即在洛伦兹变换下保持不变）：
pc －E =－mc
在洛伦兹变换下动量p如同坐标矢径r一样变换，而能量E/c如同时间坐标ct一样变换，即：
p'=1/(1－v /c ) (p－vE/c )
p'=p
p'=p
E'=1/(1－v /c ) (E－vp)
物理系统在一般洛伦兹变换下的不变性给出轨道角动量和自旋角动量守恒律；在时空平移变换下的不变性给出能量－动量守恒律。
极限速度
洛伦兹变换率的假设，本身就已经假设了极限速度
由质能关系和质速关系可知，如果静质量不为零的物体以光速c运动，则它的能量为无穷大。也就是说，把这样的物体加速到光速需要做的功为无穷大，但这是不可能的。因此，通常物体的速度只能接近而不可能达到真空光速，即光速c是物质的极限速度。
光子的静质量
光子在真空中的速度永远是c，如果把它当成经典粒子，则由质速关系可知其静质量必须是零；而且，一切以光速c运动的物质其静质量也必定是零。在现实世界，通过大量的光学和电磁学的高精度实验和分析，仍没有发现光子有静质量存在。
时空间隔
狭义相对论中，一维时间和三维空间构成闵可夫斯基四维平直时空，其度规可取为g=(－1,1,1,1)，任意两个物理事件的四维间隔的平方写为：
(Δs) =－c (Δt) +(Δx) +(Δy) +(Δz)
四维间隔的平方只有三种类型：(Δs) <0称为类时间隔；(Δs) =0是类光间隔；(Δs) >0是类空间隔。相应的物理事件分别称为类时事件、类光事件、类空事件。如果两个物理事件代表的是某一物质的运动，它们分别是亚光速运动、光速运动、超光速运动。四维间隔在洛伦兹变换下保持不变，因而这三类不同类型的运动不会通过坐标变换而互相转化。如亚光速运动不可能变为超光速运动；反之亦然。
超光速因果律
按照狭义相对论，静质量为正实数的通常物质其运动速度一定小于光速c，这类物质称为亚光速物质（或亚光速粒子），它们的全体称为亚光速世界。狭义相对论也允许超光速世界的存在，其中所有物质的速度都超过光速c，这类物质（或粒子）称为快子，其静质量是虚数（其平方小于零）。物理学家曾经设计过许多实验，但都没有发现快子的踪迹。如果在亚光速世界里能够出现快子，就会有违反因果律的现象发生：考虑在某一给定惯性系中的第一点发生了第一个物理事件，同时有一个超光速信号把这个信息传送到第二点而触发了第二个事件，我们说这两个事件具有因果联系且满足因果律：“原因”（第一个事件）在“结果”（第二个事件）之前发生。但按照洛伦兹变换，总能找到另外一些惯性系，在这些惯性系中“结果”（第二个事件）是在“原因”（第一个事件）之前出现的。因此，在狭义相对论中因果律排除了超光速信号的存在。
托马斯进动
考虑三个惯性系K、K'、K''，其中K、K'的坐标轴互相平行因而它们之间是无转动的洛伦兹变换；类似地，K、K''的坐标轴也互相平行因而它们之间也是无转动的洛伦兹变换。但是，K'、K''之间则是有转动的洛伦兹变换，即K''和K的坐标轴不再互相平行而是存在一个空间转动，这种转动称为维格纳转动（经典物理学中的伽利略变换没有这类效应）。1927年L.托马斯首先把这种运动学效应应用于电子在原子核电场中作闭合轨道运动的情况，发现电子的磁矩在运动中会产生进动，这种进动后来被称为托马斯进动。考虑了托马斯进动之后，原子光谱的精细结构分裂和反常塞曼效应就可同时得到圆满解释。托马斯进动效应还表现在电子和μ子在均匀磁场中做圆周运动时其自旋的进动频率：
ω=[(g－2)/2]eB/(mc)+ω
式中(g－2)因子相应于反常磁矩，e为电荷，m为静质量，B为磁感应强度，c为光速，ω=eB/(γmc)是圆周运动的回旋频率，其中：
γ=1/(1－v /c )
多年来进行的电子和μ子的(g－2)因子的实验测量结果与上面的理论预言在极高精度上相符合。
时钟佯谬
时间膨胀效应表明，运动时，钟的速率将变慢。由于惯性系之间没有哪一个更特殊，对于K和K'这两个彼此作相对运动的惯性系来说，哪一个在运动，这完全是相对的。因而，似乎出现了这样一个问题：K系中的观察者认为K'系中的时钟变慢了，而K'系中的观察者又会认为K系中的时钟变慢了，即两个观察者得到的是互相矛盾的结论。这就是所谓的“时钟佯谬”问题。
如果把这个问题应用于假想的宇宙航行，就会给出这样一个结果：有两个孪生子，一个乘高速飞船到远方宇宙空间去旅行，另一个则留在地球上。经过若干年，飞船重新返回到地球之后，地球上的那个孪生子认为乘飞船航行的孪生兄弟比他年轻；而从飞船上那个孪生子的观点看，又好像地球上的孪生兄弟年轻了。这显然是互相矛盾的。所以，这种现象通常又称为“孪生子佯谬”或“孪生子悖论”。
在解释这种佯谬时候，为了突出问题的实质，可以这样来比较两只钟，一只钟固定在一个惯性系中，另一只钟则相对于这个惯性系作往返航行，如同在“孪生子佯谬”中乘宇宙飞船的孪生兄弟那样。通过研究在往返航行的钟回来的时候，它的指针所显示的经历时间（也就是这个钟所经历的固有时间间隔）和固定钟的指针所显示的经历时间（也就是固定钟所经历的固有时间间隔）相比，到底哪一个更长。显然，经历的固有时间间隔小的钟，相当于年龄增长慢的那一个孪生子。可以发现，不能简单地套用前面写出的那个洛伦兹变换，因为往返航行的钟并不是始终静止于同一个惯性系之中，而是先静止在一个惯性系（向远处飞去），后来又经历加速（或减速）转而静止在另一个惯性系（远处归来），而它的“孪生兄弟”即另外那一只钟则始终静止在一个惯性系中。由此可见，往返航行的钟和静止的钟的地位并不是等价的。其深层原因是两个孪生兄弟在闵可夫斯基时空图中的世界线是不相同的，这就反驳了“孪生子佯谬”。
具体地说，哪一只走得更慢一些，有人认为，要解决这个问题，必须应用广义相对论，因为有加速或减速过程。但是，实际上这个问题可以在狭义相对论范围内圆满解决。如果加速过程对时钟速率不产生影响（实验证明加速或减速过程对时钟的速率没有影响），考虑到作往返运动的时钟经历了不同的惯性系，因而还必须考虑到不同地点的同时性问题，那么，不论在哪个惯性系中计算，狭义相对论都给出同样的结果，即往返航行的时钟变慢了。也就是说，在“孪生子佯谬”问题中，宇宙航行的孪生子比留在地球上的孪生兄弟年轻。
关于双生子悖论也不必要如此麻烦，这里告诉读者一个很简单的方法，同样还是运用闵氏几何，做出相应的图像，很容易得到正确的说法，同样可以参考上面提到的三位教授的书。
实验验证
验证狭义相对论的实验大体上分为六大类：
①相对性原理的实验检验
②光速不变原理的实验检验
③时间膨胀实验
④缓慢运动媒质的电磁现象实验
⑤相对论力学实验
⑥光子静止质量上限的实验
关于相对性原理的实验检验，电动力学和光学的很多例子，特别是运动物体的电磁感应现象，都是很有说服力的，不再赘述，着重说明其余五大类的验证实验。
光速不变性的实验
首先，同光速不变原理有关的大量实验已经证明，真空中光速同光源的运动速度和惯性运动状态无关。定量的测量表明，真空中平均回路光速с是一个常数，约为每秒30万千米（с的精确测量值见基本物理常数）。这类实验中，最著名的是迈克耳孙－莫雷实验。这个实验是在相对论出现之前很久的1881年首先由A.迈克耳孙完成的。1887年迈克耳孙和E.莫雷又用干涉仪以更高的精度重新做了观测。这个实验的目的是测量地球相对于以太的运动速度。但实验结果同以太论的预言相矛盾。狭义相对论建立之后，这个实验就被看成是光速不变原理和狭义相对性原理以及否定以太论的重要实验基础。还要说明一点，现有的实验（包括迈克耳孙－莫雷实验）并没有证明光速是否同方向无关。引入光速同方向无关的假定是为了定义不同地点的事件的同时性，在没有其他方法确定这种同时性之前，光速是否同方向无关是无法用实验判断的。
多普勒频移观测
多普勒频移的观测，最高精度已达到 0.5%；对介子寿命的观测，精度约达0.4%；用原子钟做的实验精度较低，约10%。这些实验的结果都同相对论的预言符合。
时间膨胀实验
在原子钟环球航行的实验中，虽然飞机速度远小于光速，但由于测量精度很高，仍然观测到了时间膨胀的相对论效应。
运动介质电磁现象
观测运动介质对光速影响的实验主要是斐索类型的实验。这个实验最初是A.斐索在1851年完成的，证明了运动介质中的光速同静止介质中的光速不同，而且其差异和爱因斯坦速度相加公式的预言相符。通常把这种现象称为“斐索效应”。近年来做的这类实验中，运动介质的运动方向包括了同光线方向垂直或成布儒斯特角等各种情况，其结果也都同狭义相对论速度相加公式的预言相符。
相对论力学实验
包括质速关系（惯性质量随物体运动速度的变化）和质能关系（即E=mс 关系）。质速关系是用电子和质子做的，事实上各种高能质子加速器和电子加速器的设计建造都验证了质速关系。质能关系主要是通过核反应来进行检验，精度达到了百万分之三十五。荷电粒子的电磁偏转实验、回旋加速器的运转、高速粒子飞行时间的测量、原子光谱精细结构分裂的解释等都为质速关系提供了证据。原子能发电、原子弹和氢弹的实现都以质能关系为理论基础。
光子静质量实验
有关电子静止质量的实验都没有观察到光子有静质量，因此只给出了光子静质量的上限。对库仑定律的检验给出的上限是 1.6×10 克，根据银河系旋臂磁场范围对光子静质量上限做的估计约为10 克。
除了上述六类主要的实验外，还有其他形式的实验。所有这些实验都没有观察到同狭义相对论有什么矛盾。此外，狭义相对论在相对论性量子力学、量子场论、粒子物理学、天文学、天体物理学、相对论性热力学和相对论性统计力学等领域中的成功应用，也都为它的正确性提供了丰富的证据。
虽然狭义相对论在理论的逻辑结构和形式上是很完美的，在实验上已有了非常牢固的基础，但人们仍对它不断深入进行研究：理论方面，探讨它在新领域中的应用；实验方面，使用新的观测方法和提高了测量精度的方法，更精密地检验它的正确性。此外还有不少实验试图观察超光速现象，但至今并没有得到令人信服的结果。
理论局限
狭义相对论的建立，对物理学起了巨大的推动作用，并且深入到量子力学的范围，成为研究高速粒子不可缺少的理论，并取得了丰硕的成果。但是有两个原则性的根本问题未能解决。第一个是定义惯性系引起的困难。由于否定了“绝对时空”，惯性参考系（惯性系）成了无法定义的概念。如果惯性系是指牛顿第二定律在其中成立的参考系，那么只有在惯性系中牛顿第二定律才能成立，从而陷入“逻辑循环”，整个理论如同建筑在沙滩之上。第二个是万有引力引起的困难。万有引力定律与“绝对时空”紧密相连，必须加以修正，但其在洛伦兹变换下不具有协变性，因此无法纳入狭义相对论的框架。直至广义相对论建立之后，问题才得以彻底解决。
理论意义
爱因斯坦的哲学信念：整个自然界是统一的、和谐的。他吸取了D.休谟对先验论、E.马赫对“绝对时空”概念的批判成果。其中马赫哲学对爱因斯坦影响最大。马赫认为时间和空间的量度与物质运动有关，时空观念是通过经验形成的，“绝对时空”没有经验根据。马赫据此对牛顿的“绝对时间”和“绝对空间”进行批判，否定“绝对时空”概念，并认为时间测量依赖于参考系。爱因斯坦从考察两个在空间上分隔开的事件的“同时性”入手，否定了“同时性”的绝对性及其有关的“绝对时间”概念，从而也否定了“绝对空间”概念以及实质上被当作绝对空间的“以太”的存在。爱因斯坦认为不存在绝对静止的参考系，麦克斯韦－洛伦兹的电动力学方程是正确的，物体在惯性系中运动定律不变的假设导致光速不变的概念。
相对论中的光速不变性可以从理论上由麦克斯韦方程组得出：c=1/(εμ) ，光速由真空介电常数ε与磁导率μ决定，是一个不变的常数，并且不依赖于参考系的选择。光速不变原理是宇宙时空对称性的体现。
狭义相对论不但可以解释经典物理学所能解释的全部物理现象，还可以解释一些经典物理学所不能解释的物理现象，并且预言了不少新的效应。它导致了光速是极限速度，导致了不同地点的同时性只有相对意义，预言了长度收缩和时钟变慢，给出了爱因斯坦速度相加公式、质量随速度变化的公式和质能关系。此外，按照狭义相对论，光子的静止质量必须是零。
狭义相对论把力学和电磁学在运动学的基础上统一起来，揭示了作为物质存在形式的空间和时间在本质上的统一性以及同物质运动的联系。狭义相对论的时空观，通过H.闵可夫斯基的工作得到重大发展。闵可夫斯基于1907年提出了空时四维表述形式，即在通常的空间三个坐标以外，引进第四个以光速和时间的乘积为尺度的虚坐标，这样就可以方便地用四维空间中的几何图形来表示事件（称为“世界点”）及其变化过程（称为“世界线”）。在闵可夫斯基空间中，原来三维空间的距离和时间的间隔两者各自独立的不变性虽然不再成立，但两者的结合体仍然是不变的。因此，他把这一观点称为“绝对世界的假设”。
爱因斯坦根据狭义相对论导出质量和能量的相当性（等价性），即物体的质量（m）是它所含能量（E）的量度：E=mc （c为真空中的光速），这就加深并发展了物质和运动的不可分离性原理。揭示了质量和能量是等价的，在本质上是同一的，证明自然界之间存在深刻的内在联系和统一性。按照狭义相对论的四维表示，能量和动量结合成一个量，即“能量－动量矢量（张量）”，动量是这个四维张量的空间分量，能量则是它的时间分量。这样，动量守恒定律和能量守恒定律就结合成一个统一的能量－动量守恒定律。
狭义相对论的提出给物理学带来了革命性的变化，更新了人们的世界观，为广义相对论的诞生奠定了坚实的基础，改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“同时性的相对性”、“四维时空”等全新的概念。
狭义相对论的创立不仅引起了物理学的变革，而且对现代哲学产生了深远的影响。它提出的新的时空观、物质观和运动观，极大的发展了科学的自然观。
创立过程
爱因斯坦是如何创立狭义相对论的，请看下面的内容：
早在16岁时，爱因斯坦就从书本上了解到光是以很快速度前进的电磁波，与此相联系，他非常想探讨与光波有关的所谓以太的问题。
17世纪的笛卡尔和其后的克里斯蒂安·惠更斯首创并发展了以太学说，认为以太就是光波传播的媒介，它充满了包括真空在内的全部空间，并能渗透到物质中。与以太说不同，牛顿提出了光的微粒说。
牛顿认为，发光体发射出的是以直线运动的微粒粒子流，粒子流冲击视网膜就引起视觉。18世纪牛顿的微粒说占了上风，到19世纪，却是波动说占了绝对优势。这短历史我在《见微知著》中写的很详细了。
以太学说发展，人们认为：波的传播需要媒质，光在真空中传播的媒质就是以太。与此同时，电磁学得到了蓬勃发展，经过麦克斯韦、赫兹等人的努力，形成了成熟的电磁现象的动力学理论——电动力学，并从理论与实践上证明光就是一定频率范围内的电磁波，从而统一了光的波动理论与电磁理论。
电磁学的发展最初也是纳入牛顿力学的框架，但在解释运动物体的电磁过程时却发现，与牛顿力学所遵从的相对性原理不一致。按照麦克斯韦理论，真空中电磁波的速度，也就是光的速度是一个恒量；然而按照牛顿力学的速度加法原理，不同惯性系的光速不同。也就是麦克斯韦与伽利略关于速度的说法明显相悖！
爱因斯坦似乎就是那个将构建崭新的物理学大厦的人。他认真研究了麦克斯韦电磁理论，特别是经过赫兹和洛伦兹发展和阐述的电动力学。爱因斯坦坚信电磁理论是完全正确的，但是有一个问题使他不安，这就是绝对参照系以太的存在。
相对性原理已经在力学中被广泛证明，在电动力学中却无法成立，对于物理学这两个理论体系在逻辑上的不一致，爱因斯坦提出了怀疑。他认为，相对性原理应该普遍成立，因此电磁理论对于各个惯性系应该具有同样的形式，但在这里出现了光速的问题。
光速是不变的量还是可变的量，成为相对性原理是否普遍成立的首要问题。当时的物理学家一般都相信以太，也就是相信存在着绝对参照系，这是受到牛顿的绝对空间概念的影响。
19世纪末，马赫在所著的《发展中的力学》中，批判了牛顿的绝对时空观，这给爱因斯坦留下了深刻的印象。1905年5月的一天，爱因斯坦与一个朋友贝索讨论这个已探索了十年的问题，贝索按照马赫主义的观点阐述了自己的看法，两人讨论了很久。我在《变化》在讨论惯性的时候，也引述马赫原理。所以马赫这个对爱氏的启发是很大的。
突然，爱因斯坦领悟到了什么，回到家经过反复思考，终于想明白了问题。第二天，他又来到贝索家，说：谢谢你，我的问题解决了。原来爱因斯坦想清楚了一件事：时间没有绝对的定义，时间与光信号的速度有一种不可分割的联系。他找到了开锁的钥匙，经过五个星期的努力工作，爱因斯坦把狭义相对论呈现在人们面前。
1905年6月30日，德国《物理学年鉴》接受了爱因斯坦的论文《论动体的电动力学》，在同年9月的该刊上发表。这篇论文是关于狭义相对论的第一篇文章，它包含了狭义相对论的基本思想和基本内容。
爱因斯坦解决问题的出发点，是他坚信相对性原理。伽利略最早阐明过相对性原理的思想，但他没有对时间和空间给出过明确的定义。
牛顿建立力学体系时也讲了相对性思想，但又定义了绝对空间、绝对时间和绝对运动，在这个问题上他是矛盾的。而爱因斯坦大大发展了相对性原理，在他看来，根本不存在绝对静止的空间，同样不存在绝对同一的时间，所有时间和空间都是和运动的物体联系在一起的。
在这篇文章中，爱因斯坦没有讨论将光速不变作为基本原理的根据，他提出光速不变是一个大胆的假设，是从电磁理论和相对性原理的要求而提出来的。这篇文章是爱因斯坦多年来思考以太与电动力学问题的结果，他从同时的相对性这一点作为突破口，建立了全新的时间和空间理论，并在新的时空理论基础上给动体的电动力学以完整的形式，以太不再是必要的，以太漂流是不存在的。
什么是同时性的相对性？不同地方的两个事件我们何以知道它是同时发生的呢？一般来说，我们会通过信号来确认。为了得知异地事件的同时性我们就得知道信号的传递速度，但如何测出这一速度呢？我们必须测出两地的空间距离以及信号传递所需的时间，空间距离的测量很简单，麻烦在于测量时间，我们必须假定两地各有一只已经对好了的钟，从两个钟的读数可以知道信号传播的时间。但我们如何知道异地的钟对好了呢？
答案是还需要一种信号。这个信号能否将钟对好？如果按照先前的思路，它又需要一种新信号，这样无穷后退，异地的同时性实际上无法确认。不过有一点是明确的，同时性必与一种信号相联系，否则我们说这两件事同时发生是无意义的。
大家体会到这个概念的重要了吗？我在上面的各种提问，其实已经够深入了。
相对论认为，光速在所有惯性参考系中不变，它是物体运动的最大速度。由于相对论效应，运动物体的长度会变短，运动物体的时间膨胀。但由于日常生活中所遇到的问题，运动速度都是很低的（与光速相比），看不出相对论效应。
爱因斯坦在时空观的彻底变革的基础上建立了相对论力学，指出质量随着速度的增加而增加，当速度接近光速时，质量趋于无穷大。他并且给出了著名的质能关系式：E=mc^2，质能关系式对后来发展的原子能事业起到了指导作用。以上就是爱氏狭义相对论的创立过程。
摘自独立学者灵遁者科普书籍《变化》
推导过程
1922年爱因斯坦被子请到日本作为 6 个星期的巡回演说。在京都大学 ( KyotoUniversity ) 时，有一位哲学教授西田 ( K.Nishida ) 请爱因斯坦讲他如何发现相对论。爱因斯坦就临时多加了一项演说来回答西田的问题。爱因斯坦的演说当场都有日文翻译。后来物理学家大野 ( Yoshimosa Oono) 将日文翻译成英文，登在今日物理 ( Physics Today ) 期刊上 ( 见文献10 ) 。下面二段是那次演说中狭义相对论的发现过程的摘要。
爱因斯坦说，当他在大学时曾读到迈克耳孙与莫雷的实验，知道以太的构想是不对的。但他深信麦克斯韦及洛伦兹的公式是对的。另外有菲佐 ( Fizeau ) 的实验，证明光速是不变的，不受其他速度的影响。这与我们平常的加减法是不同，有了矛盾。为什么会有这矛盾呢？爱因斯坦花了一年的时间，想了各种方法来解说这矛盾，但都没有好的结果。
在瑞士伯尔尼（Bern）一个好天气的日子里，爱因斯坦去找朋友贝索 (M.Besso )讨论这问题，他们用各种不同的观点来讨论。突然爱因斯坦清楚了这问题的关键所在：不同速度地方的时间是不一样的，时间会因相对速度而改变。这是一新的观念，可将这矛盾解开了。次日爱因斯坦见到了贝索说：“谢谢你，我已将这问题解决了。”贝索听了觉得莫明其妙。五个星期后，狭义相对论就写成了。
以上的摘要中有提到的几位科学家的研究尚宜加以说明。迈克耳孙与莫雷的实验在第三 3 章内已提到过。这实验证明光速不受地球速度的影响，是一不变的常数。洛伦兹与菲茨杰拉德提出长度缩减的假说，来解释迈克耳孙与莫雷的结果。
麦克斯韦在1873年发表了电磁学说的基本公式。这些公式到现在还是经常应用。他证明电磁波的速度可以从空间中电磁的电容率（permittivity = capacitance / meter）及磁导率（ permittivity = inductance / meter ）计算出来，而发现电磁波的速度与光速完全相同。有名的物理学家玻尔兹曼（ L.Botzman ）称赞麦克斯韦的公式，他借用哥德（Goethe）的一句话：“这些文章与公式是 不是一位神写的呢？”（见文献 36 ，页 963）。
菲佐在1859年测量流动液体中的光速，发现光速并不受流体速度的影响。光速是固定不变的。这是很费解的谜（见文献 8 ，页 891）。
爱因斯坦注意了这谜有 7 年之久。1905 年他终于把这谜解决了。解开的关键点在于时间是可以改变的，他想出数学公式代表不同时间。当他将这些公式解开后，发现解出公式里有不少奇妙的好结果。这是科学上一大杰作，并且对世界有很大的影响。
《狭义相对论》
相对论靠数学推演而成。本章主要以高中代数来推演狭义相对论。因数学比较难读所以需要耐心。相对论是研究在速度不同的二个地方或坐标系内彼此时间及空间的关系。现在用车站及街车来做例子。图 0013(a) 代表一个固定坐标的车站。站内的空间以x来代表水平方向位置，y来代表垂直位置，站上的钟是 A ，时间是t。图 0013(b) 代表一在移动坐标的街车，街车以速度v在水平方向离站。街车内的空间是以x'来代表水平方向位置，y'来代表垂直位置，车内的钟是A'，时间是t'。
这二个不同速度坐标空间与时间的彼此关系在数学上叫做变换公式(transformation equation )。传统的变换公式又叫做伽利略( Galiean )或牛顿( Newton )的变换公式，是
《狭义相对论》
0049
《狭义相对论》
0050
牛顿的公式 0049 中有二个系数A与B，以前已用二个条件来决定，为A=1及B=v。公式 0050 表示时间在二不同的地区是一样的。若按照牛顿公式 0049 及式 0050 ，则光速会因光源的速度而改变。例如光源以速度v 趋近观察者，依照这二个公式，该观察者所测到的光速应是c+v。但是根据西特尔及迈克耳孙与莫雷的实验，不管光源的移动多快，光速仍是c，牛顿公式 0049 及 0050 不符合。
为要与实验相符，爱因斯坦提出新的变换公式如下：
《狭义相对论》
0051
《狭义相对论》
0052
《狭义相对论》
公式 0051 与 0052 中有四个系数D，E，F，及G，习惯以英文字母 来代表光速。为避免混乱，用c以后的中个字母来代表这四个新系数。
《狭义相对论》
《狭义相对论》
《狭义相对论》
《狭义相对论》
《狭义相对论》
牛顿与爱因斯坦的变换公式有什么不同呢？牛顿公式（0049）与爱因斯坦公式（0051）是一样的，只是将二个系数用不同的字母来表示而已。主要的不同存在于牛顿公式（0050）与爱因斯坦公式（0052）之间。牛顿的时间在任何地方都有是一样的。爱因斯坦公式（ 0052 ）表示，时间在有相对速度的地区之间是不同的。这是一关键步骤，爱因斯坦他的新公式（0052）是他的一大发明，震动了全世界。
四个系数D，E，F及G它需要有四个物条件才能解出。其中有二个条件( 1 )及 ( 2 ) 是与以前牛顿的二条件相同的。爱因斯坦根据光速是固定不变而想出二个新的条件（3）及（4）。这四个条件将说明如下。条件（1）及（2）与牛顿的二个条件相同。
《狭义相对论》
图0014显示这两个条件。图0014（a）中有固定车站及站长。图0014（b）中有街车，以速度v离开站。
条件（1）：站长测定街车的移动坐标原点 O' 位置。
条件（2）：固定站内的一点 A 变换到开动中街车里成为 A' 点。然后又变回固定站内，则必须回到原来的 A 点上，图 0014 。不然 A点可随便改到另一个位置，这是不合理的。
爱因斯坦的新条件（3）和（4）。
爱因斯坦根据光速不变，不受光源速度的影响，想出了二个新条件。图 0014(a) 是固定车站，站里有二手电筒，为信号灯，一向右照，一向左照。图 0014（b）为移动的街车，是以速度 +v向右开走，街车里有观察者，他们的速度与街车相同，是 +v。右方向定为（+），左方向定为负向（-）。条件可以任何次序应用。将用条件（1），（3），（4）及（2）的次序来解四个系数。
条件（1）：站长测定街车的移动坐标原点 O' 位置，图 0014 。
在开始时刻，固定与移动坐标原点 O 及 O' 可在同位置。车开动后，站长看到街车离去站长测到街车 O' 点的位置x等于街车速度v乘上时间，即x=vt。
街车里的人，他自己原点 O' 随车而走，是不变的，所以经常x'= 0 。
《狭义相对论》
站长看到街车原点 O' 是在
0053
《狭义相对论》
街车里的人看到 O' 点是在
0054
《狭义相对论》
将公式（0053）与（0054）代入爱因斯坦公式（0051）中，有
《狭义相对论》
0055
《狭义相对论》
将公式（0054 ）代入爱因斯坦公式（ 0052）里，有
《狭义相对论》
0056
将式（0055 ）除以式（0056 ），即等号左边相除等于右边相除。
《狭义相对论》
0057
上式中t 及t' 都被抵消了，得到
《狭义相对论》
0058
上式乘以G 然后左右边交换，有
《狭义相对论》
0059
所以条件（1）决定了E和G之间的关系。
《狭义相对论》
《狭义相对论》
《狭义相对论》
《狭义相对论》
《狭义相对论》
《狭义相对论》
条件（3）：如图 0015 (a) 在站里的一手电筒向右以光速 + 照。在站里，光速是，或。在街车内的人看的光速不变，仍是，或。所以
《狭义相对论》
站长看到光是在
0060
《狭义相对论》
街车里人看到光是在
0061
《狭义相对论》
将公式（0060 ）及公式（0061）代入爱因斯坦公式 ( 0051) 内，得
《狭义相对论》
0062
《狭义相对论》
将式（0061）代入爱因斯坦公式（0052）内，有
《狭义相对论》
0063
将式（0062）除以式（0063），得到
《狭义相对论》
0064
上式中t及t'又相抵消了，有
《狭义相对论》
0065
《狭义相对论》
以 上式乘以上式，有
《狭义相对论》
0066
将上式各项重新排列成为
《狭义相对论》
0067
《狭义相对论》
《狭义相对论》
条件（4）：图 0015 (a) 在站里的一手电筒向左以光速 -c照不变。在站里光速是，或x=-ct。在街车内的人看到的光速不变，仍是 或x'=-ct'。
除了光的方向改为左以外，条件（4）与（3）是一样的。所以
《狭义相对论》
站长看到光是在
0068
《狭义相对论》
街车里人看到光是在
0069
《狭义相对论》
将上式及（0068）代入爱因斯坦公式（0051）内，得
《狭义相对论》
0070
《狭义相对论》
将式（0069）代入爱因斯坦公式（0052）内，有
《狭义相对论》
0071
将式（0070）除以式（0071），得到
《狭义相对论》
0072
上式中t及t'又相抵消了，有
《狭义相对论》
0073
《狭义相对论》
以 上式乘以上式，有
《狭义相对论》
0074
将上式各项重新排列成为
《狭义相对论》
0075
《狭义相对论》
上式（0075）与公式（0067 ）相比较，等号左边都是Dc右边也应该相等，即
《狭义相对论》
0076
将上式各式各项重新排列，有的可相加，Gc抵消，得到
《狭义相对论》
0077
以2c 除以上式，有
《狭义相对论》
0078
《狭义相对论》
把式（0078）代入（0075） ，得
《狭义相对论》
0079
上式除以c，有
《狭义相对论》
0080
把式（0080）代入（0059）E=vG 内，得到
《狭义相对论》
0081
然后将式（0081）代入式（0078）中，有
《狭义相对论》
0082
《狭义相对论》
由公式（0080）G=D、式（ 0081 ）E=vD 及式（0082 ）可将E，F，G都换成D。再有一个公式，就可将D解答了。这最后一公式是从条件（2）中得到的。
条件（2）：固定站内的一点 A 变换到开动中街车里成为 A' 点上，然后又转回到站内，则必须回到原来的 A 点上，图 00014 。不然 A 点可随便改到另外一位置，这是不合理的。
这条件在数学可证明四个系D，E，F，G之间必须有下列关系①：
1=DG-EF
0083
《狭义相对论》
将式 (0080)G=D，式 (0081)E=vD，及式 (0082) D 同时代入式（0083）中，得到
《狭义相对论》
0084
《狭义相对论》
将上式除以 并左右两边交换，有
《狭义相对论》
0085
最后将上式两边开平方，得
《狭义相对论》
0086
系数D已决定了！其它三个系E，F，G就容易了。
①根据条件（2），数学上可证明在爱因斯坦变换公式中四个系数系的行列式（determinant ）必须等于 1 ，不然 A 点会到另外位置去。爱因斯坦的变换公式是
《狭义相对论》
0051
《狭义相对论》
0052
《狭义相对论》
上二式中的变换方阵（matrix）是[ ] ,
《狭义相对论》
其行列式是。依照行列式计算法，它是等于右对角相乘DG，减去左对角相乘EF。所以有
《狭义相对论》
0083
在线性代数（linerar algebra）中有公式（0083）的更详细证明法。
将式（0086）代入式（0081）E=vD 中，有
《狭义相对论》
0087
《狭义相对论》
将式（0086）代入式（0082）中，有
《狭义相对论》
0088
最后将式（0086）代入（0080）G=D ，有
《狭义相对论》
0089
四个系数都有了，爱因斯坦的变换公式已推演完成。
《狭义相对论》
将式（0086）及式（0087）代入爱因斯坦公式（0051）内，有
《狭义相对论》
0090
《狭义相对论》
并将式（0088）及式（0089）代入爱因斯坦公式（0052）中，得
《狭义相对论》
0091
其中x及t为车站内或观察者所在地的位置及时间；
《狭义相对论》
x'及 为为开动中街车里的位置及时间；
v为街车的速度；
c 为光速。
因为街车的速度v在x方向，其它二方向，（y及z）街车并没有速度。y与x垂直，z与xy的平面垂直。从式（0090），如以y取代x，y'取代x'及v=0 ，则式（0090）成为y=y'。相同的以z 取代x，z'代x'及v=0 ，则式（0090）成了z=z'。所以有
y=y' 及z=z'
0092
爱因斯坦用了一有趣的字来形容公式（0092）。他的文章写了在yz方向不应该有什么“阴谋”( cynical ) 或怪事（ strange ）发生。
公式（0090）及（0091）表明，观察者在车站内看见街车开动离去。如果观察者是在街辆，那么车内的时间是t，位置是x而站上的时间是t'，位置是x'。街车里的人看到站以速-v退去。公式（53）及（54）可重新排列成为
《狭义相对论》
0093
《狭义相对论》
0094
《狭义相对论》
公式（0093）、（0094）其实与式（0090）是相同的，只是外形不同而已。公式（0090）到（0094）是狭义相对论的主要结果。这一重要理论的关键步骤是爱因斯坦的公式 (0052) 。这公式看起来并不是很复杂的，却引进了不少奇妙的好结果。爱因斯坦根据光速不改变，想到二新的条件也是很有技巧的。
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