每日一题346：一道大学生数学竞赛决赛试题的简单解法及推广
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习346：1、 证明方程 0)" data-formula-type="inline-equation" style="">有且仅有一个实根.
2、 设方程 0)" data-formula-type="inline-equation" style="">，则
(1) 当为偶数时，方程有且仅有一个根；
(2) 当为奇数时，如果 ，则方程恰有两个实根；如果 ，则方程有且仅有一个实根；如果1" data-formula-type="inline-equation" style=""> ，则方程没有实根.
先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！
【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
【注2】每日一题题目并非咱号完全原创，一般来自各类参考书或网络资源，由学友改编、整理并由咱号免费推送分享。感谢学友的热心整理分享，欢迎更多学友投稿分享好的学习资源、学习经验和大学学习、生活经历、经验，分享热线：微信、QQ、邮箱都为QQ号码：492411912.
练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习346：1、 证明方程 0)" data-formula-type="inline-equation" style="">有且仅有一个实根.
2、 设方程 0)" data-formula-type="inline-equation" style="">，则
(1) 当为偶数时，方程有且仅有一个根；
(2) 当为奇数时，如果 ，则方程恰有两个实根；如果 ，则方程有且仅有一个实根；如果1" data-formula-type="inline-equation" style=""> ，则方程没有实根.
【参考解答】：【说明】 本练习的第1题是2020年全国大学生数学竞赛河南省决赛（数学类A卷）的一个大题，其题型和知识点既适用于数学专业数学分析课程相关的考试，也适用于非数学专业高等数学、微积分课程类的考试，也是相关考试中最常见的经典题型！主要考察的知识点是导数的应用. 第2题是胡老师分享的一个推广结论. 其中第1题的思路一与第2题推广结论及证明来源于胡老师分享，思路二为试卷中给出的参考解答.
1、【思路一】 原方程可以改写为
令
则函数在上连续且可导，
且仅有，故函数在上上严格单调递减. 又
故由函数极限的保号性知，存在 ，使得 0" data-formula-type="inline-equation" style=""> ；存在 0" data-formula-type="inline-equation" style="">，使得，故由闭区间上连续函数的零值定理，存在，使得. 综上可知，原方程有且仅有一个实根.
【思路二】 令
则
(1) 当时，由不等式 1 + x" data-formula-type="inline-equation" style=""> 可知， 0" data-formula-type="inline-equation" style=""> . 即此时在上严格单增，因而在上有唯一实根；
(2) 当时，令 ，可得 . 容易看出，当 时， ，即 在 上单调递减；而当 - \ln a" data-formula-type="inline-equation" style="">时， 0" data-formula-type="inline-equation" style=""> ，即 在 上单调递增，因此是 的最小值点，最小值为
再由
可知， 在上恰好有两个零点，分别记为，并设，则在和 上 0" data-formula-type="inline-equation" style="">，而在 上 . 由此可知， 在 和 上严格单增，在上严格单减. 注意到
所以在 上恒小于零，因此 在 内仅有一个实根，而且该实根就是 在整个上的唯一实根.
【注】从这个两个思路中可以看到辅助函数构建的重要性！虽然思路二也能够得到需要验证的结论，但是其复杂程度远比思路一要大，所以解决问题之前应该多思考，多改写，多尝试，前期的探索与尝试不仅可以开拓思路，有时候还会收获意外惊喜！
2、 设，则
(1) 当为偶数时，
且函数在上严格单调递减，故方程有且仅有一个根.
(2) 当为奇数时，
则当时， 0" data-formula-type="inline-equation" style="">，当 0" data-formula-type="inline-equation" style="">时， . 即 在上严格单调增加，在 上严格单调递减. 由即得相应结论.
感谢胡老师的分享！
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