我们所教的数学就是我们所做的数学吗？
作者：W.J. Davis, Horacio Porta, J.J. Uhl
译者：裘宗燕
校对：余建明
编辑：和乐数学
来源：《数学译林》1997年第一期
编者按
这篇文章通过介绍Calculus and Mathematica阐明了不少重要观点，涉及了大学数学改革的许多重要问题，特别是涉及了计算机如何进入大学数学教育领域的问题。我们的数学家和数学教育工作者天天都在研究数学，同时也在教授数学，那么我们所讲授的真正是我们所研究的那种数学吗？我们是如何去激发学生对数学的兴趣？又怎样把学习变成主动交流的方式？怎样才能把学习和研究更好地统一起来呢？在这些问题上，电子计算机能够起到怎样的作用呢？读了这篇文章，或许会给我们一些有益的启示。
摘要 在《美国数学会公报》上William Thurston写道：“数学家的交流方式经常是低效的”。我们文章要描述的是《Calculus & Mathematica》（以后简记为C&M）课程所揭示的一种新的，能在计算机上运行的，交互式文本形式的数学交流方式。在这里，授课教室被计算实验室取代，讲授变成学生自己的主动性学习，课堂聚会成为整个班级参与的真正的讨论，学生在做数学，所用的正是那些活跃的数学家们研究数学的方式。
论点与问题
在《美国数学会公报》上最近的一篇文章里，William Thurston呼唤人们关注数学教室里令人沮丧的情况：
“
公开场合我们总是会说学生们“应该”学些什么内容，然而学生的实际困难在于学习我们的表达方式与思维方式。对此情况，书本的补救方式是给出各类题型的解，教授的补救方式是只给一些简单的习题，而且改作业与考试给分时标准放得很松。我们总假定问题出在学生而不在交流方式：学生没有能够抓住教给他们的东西，或者根本就不关心它们。圈外人对这种情况非常吃惊，但是在我们数学界里对于这种情况却满不在乎。
”
这段话引出一个问题：在典型的数学课程里教的东西能被为数学吗？
也是在《美国数学会公报》里，Saunders MacLane提出把：
直觉-探试-出错-思索-猜想-证明
作为理解数学的一个过程。而大部分现代数学课程推崇的过程则与此相反，是
课堂讲授-记忆-测验.
多数数学工作者应该同意MacLane的描述，这样就得到了一个不可回避的结论：我们所做的数学与通常在课堂上提供的并不是一个东西，对下一个世纪要提出的问题是：
我们在课堂上教的数学能不能更像我们所做的数学？ 我们能够激发起学生对数学的兴趣吗？ 在这些问题上计算机能够扮演什么角色？
在《美国数学月刊》上Phillip J.Davis 指出了对上面有关计算机问题的回答，如何也答复了另外两个问题：
“
“所有数学家的能力都通过他们与计算的联系而得以提高，计算机引起平面三角几何和许多其他领域发生变化，然而有点像悖论一样，这反而加强了人在数学这种奇妙活动里的中枢地位。说得更明白一点，在数学的发展中，数学家的角色始终是头等重要的，面对着可视性的输出时，我甚至曾为认识‘可视的定理’而辩论……在这里眼睛看到的东西不需要用语言表达，更不必说用传统形式化的数学语言描述……精巧微妙的感觉用语言说不出来、无法陈述……我认为其对于数学教育的启示是非常清楚的。经典的证明必须让出地盘，与其他能够提供数学现象和数学知识的方法共享教育的场所和时间。数学教科书讲解中使人麻木的僵硬的欧几里德模式必须改变。”
”
Calculus&Mathematica，对论点与问题的初步回应
Calculus&Mathematica 是由伊利诺依大学阿尔巴纳-香槟分校和俄亥俄州立大学共同开发的一个明确针对上述问题和论点的新计算机实验室微积分课程。这个课程完全从最基本的东西重新构造起来。课程的目的，向学生头脑中灌输数学思想的方法，激励学生学习的方式，使学生记住重要概念的方式全都经过重新斟酌。
作为这些工作的结果，C&M已成为今天可用的一个全新的微积分课程，它为学习计算内容繁重的科学课程提供了一个成功的新模式。这个课程并不是简单地用大量计算和绘图对微积分基础进行包装，在C&M里学生能学到正确的东西。一开始他们就看到微积分作为科学测量、计算和模拟的首要途径而呈现。学生看到微积分是一种高度可观察的，经常具有试验性的科学活动，就像研究数学的人们看到的一样。这里的教学媒介是活的电子的交互式文本，由用Mathematica笔记本写出的许多节课组成。每节C&M课包括下列几个Mathematica笔记本：
基本笔记本（Basic NoteBook），引出基本概念， 指导笔记本（Tutorial NoteBook），应用基本概念的一些例子 自己试笔记本（Give It a Try NoteBook），为学生实际练习用，以及 阅读纸，为学生在没有机器时能够处理的问题而设。
国家研究委员会（NRC）的报告《超越神话（Moving Beyond Myths）》中这样描C&M：
“一个创造性的微积分教材……（它）使用了一个强大的计算机代数系统的完全的符号、数值、图形和文字能力。特别重要的，这里没有课程教科书——只有一系列电子笔记本。
每个笔记本由基本问题开始，引进新思想，随后是技术和应用的指导性问题，这些问题都附有‘电子的、活的’解答，以支持学生学习。笔记本最后一节名为‘自己试’，在这里不给出解答，学生需要用机器上的文字处理程序和图形、计算软件建立自己的笔记本，解决问题，用电子方式递交解答以得到批改和打分。
笔记本是活的，学生可以用不同的数或函数重做其中的例子，可以插入注解，解释有关的概念，融入学生所希望的图形，加入一些东西以提高问题的复杂性。教学的注意力集中在计算机实验室和电子笔记本，一个星期只在教室待不到一个小时。学生要花的时间比在常规课程中多一些，但可得到更好的理解。他们有充分自由去探索、重新思考、重做和调整。进一步说，建立课程笔记本强化了学生对学习成果的认识。”
与“点击”式的多媒体或者可调整印刷页完全不同，在C&M里一切都可以按需要进行修改并重新运行。所以C&M里的每个实例都不仅是一个例子，而是如学生实际需要的那么多的活的交互式例子。
作为C&M设计基础的假设是：学生进行数学工作的方式应当与做研究的数学家类似。这样才能有更多的机会取得成功。这里列出作为C&M基础的一些原则：
用可视的、体验的形式传播新思想，在使用语言之前通过这些方式获得新思想
C&M的独特之处在于试图在使用语言之前，首先通过可视形式使数学思想进入学生头脑，按照Stephen Jay Gould的说法：学者被训练去分析词语，而学生却是有视觉的动物。经过很好构想的可视性绝不是装饰品，而是思维模式的聚焦点。本课程的进展由经过很好选择，能够重复执行的交互式的计算机图形以及学生做出的图形推动，这些图形能够吸引学生自己去试验和构造，用他们自己的语言去阐述和解释。
通过交互式可视性，C&M试图在没有把微积分的基本思想转换成英语之前，在无意识之中将它们注入学生头脑。例如，学生通过同时对和做出的一些图形的试验取得对导函数意义的理解；通过对指数函数图形的试验能牢牢记住其可怕的增长速度，从来没有听说过收敛性概念的学生通过试验观察函数与其泰勒级数展开的图形，不久就发现这里的收敛性具有数学家所称的“在紧致区间的一致性”。他们还为描述自己所看到的东西发明了一个词“共同聚集（cohibitation）”。学生通过对穿过向量场的运行轨道的试验后，很容易接受向量场。他们知道梯度场在相对极大处聚集。作为试验的结果，他们中大部分人能告诉你为什么拉普拉斯方程的解没有内部极大，理由是：拉普拉斯方程解的梯度场没有汇点（sinks）。
始终给学生创造性发挥的机会，让学生自己在学习中扮演主动角色，不替学生思考问题
C&M的学生在学习中扮演着主动角色，他们按照自己的需要，自己的进度，从电子化的基本笔记本和指导笔记本中选择材料进行学习（如果需要，再重复进行学习）。如果某一点没有通过，他们可以自由地修改，按照自己的需要重新运行，在整个过程中他们都有机会主动地创造性地进行学习。C&M这个独有的特点使它与课堂讲授为主的微积分课程，以及新出现在市场上的被动的“点击式”多媒体课程完全不同。最后应指出；C&M的这个特点完全是自然的，因为这正是从事研究的科学家们的工作方式。
把数学作为一种科学进行探讨，而不是把它作为一种语言，或者一种宗教教义
数学教学经常被装扮成一种宗教仪式，在这里教授就像是教义掌管人或真理仲裁者。有时候数学被作为一种语言进行教授。语言，正如Blaise Pascal指出的，“必须安装到（学生的）头脑里，因为它与（学生的）智慧无关”。很少有把数学作为科学来教的，而那才是它的本来面目。C&M课程试图以科学的样子教数学，使学生在这里成为主动的探索者。通过很好地使用计算机帮助由视觉引入基本思想，C&M把通常的学习过程：
课堂讲授-记忆-测验
替换为MacLane提出的过程：
直觉-探试-出错-思索-猜想-证明。
在这里，微积分变成了与主动的数学家们所涉足的数学活动同样的东西。
要求学生解释，而不是证明
“证明”（prove，show）是没经验的学数学的学生最害怕的词汇，而“解释”这个词就不那么可怕，因为它通常被认为不像证明那样的形式化。从另一方面说，一个好的解释里实际上包含了一个形式证明的重要思想，所以集中精力于解释而不是证明并没有削弱数学的理解。事实上，精确和理解常常是不同的东西，精确性是脑的一部分，而理解则透入大脑、心和灵魂。
精确而没有理解，理解而不精确都是可能的。任何时候，重述一个死记的定理证明和理解一个定理都不是一回事，真正的目标是理解，这也正是Phillips Davis在说“经典的证明必须让出地盘，与其他能够提供数学现象和数学知识的方法共享教育的场所和时间”时想表达的东西。
使用计算机化的真正交互式的文本
传统的印刷课本对学习有一种瓦解斗志的作用，因为它迫使学生扮演被动的从属角色。Thomas S. Kuhn对此有非常好的解释：“学习科学的学生接受理论是由于教师和课本的权威，而不是由于看到了证据，他们能有什么替代品？又能有什么能力？”
C&M是电子化的活的交互式文本，这里的每个例子都可以变成学生所需要的许多例子。它是一个环境，在其中学生可以获得他们所需要的证据。这种情况带来的结果是：学生主动地学习，部分地在学生自己的控制之下，而不是完全处于教师和课本的控制之下。
排除引论课程
在《美国数学会公报》的文章里，Thurston说：“数学家们的交流方式经常是低效的……大部分听众只能从通常学术讨论会的报告中得到很少的东西”。正如数学讨论会报告是失败的一样，数学课堂的引论课程也是失败的，原因是：
引论课程中充满了对没人提出的问题的回答。 作为必备品，引论课程里充满了不能被学生理解的精确术语。 引论课程强烈地诱导教师去帮助学生思考。 引论课程倾向于把课程的中心放在教师上而不是在学生上。
按Schopenhuar的说法：参加引论课程等于用别人的头脑思考，而不用自己的。与此相反，在C&M中代替引论课的是，在常规的讨论之前，首先让学生经实验室训练把可视的概念牢牢凝入脑中。这些讨论着重回答学生们提出的问题。
通过给出其重要性能够被学生认识的问题以鼓励学生的学习愿望
“学这个东西有什么用处？”这是学生在常规微积分课程中经常提出的问题。在C&M课程中这个问题却很少听到，其原因是学生自己的问题已混合在C&M课程之中，学生需要把微积分试出来，根据他们自己的生活，根据他们打算从事的职业中将遇到的度量、计算和科学问题，看看什么微积分可以为他们所用。学生仔细地思考怎样分配自己的精力，作为他们设计未来的一部分。学生们都有识别琐碎而人为问题的能力，因而在C&M课程中学生极少失去兴趣，而在常规的微积分课堂里经常走神。
坚持通俗语言
学生在写数学作业时失败，是因为他们的教科书是用他们不能理解的语言写的。由于课程中读到和听到的许多东西对他们的智慧而言并没有什么意义，结果就只能求助于死记硬背。Paul Halmos在这里走得更远，他说数学教师的工作就是把教科书翻译为白话。事情并不是必须这样，C&M是用通俗的字、词和句子写的，学生能够理解，并能用到他们自己的写作中。
给学生机会，在写作过程中通过解释自己的意思来组织自己的思想
C&M的学生通过可视的素材吸收那些没有被古怪词语侵蚀的思想，只有在经过讨论而有了对这些思想的可视理解之后，他们才涉足对所学东西的交流。第一步是通过视觉确定什么是真理，第二步才是对其进行解释。常规微积分课程的学生被剥夺了这种因为发现和解释而激动的权利。C&M的学生写了许多数学，他们做得出乎意料的好。这里有两个原因：
Mathematica笔记本平台给了学生一个做图形、计算和写作的统一环境。 C&M使用的语言足够地非形式化，以便学生能够在自己的写作中采纳。
给学生在上下关联的内容中学习数学和编程的机会
将应用引入微积分的常规方法倾向于使数学与应用分离。类似地，将技术引入微积分的常规方法倾向于使数学与技术分离。C&M总是把数学放在涉及度量的上下文里，把编程放在数学的环境中。更重要的是C&M在引进新思想的工作过程中开拓技术，结果是使应用、编程和数学互相促进。C&M的一个学生说的好：
“
“我已经开始注意到一课的内容对另一课的作用，类似情况也出现在那些我原认为无关的领域之间。数学、语言、编程以及所有东西之间的互相连接现在好像配合得更好一点。”
”
给学生专业性的工具
让准备将来在计算性科学领域工作的学生了解在计算机或工作站上运行Mathematica软件，并作为一种专业性工具来掌握。相信了使用专业工具的能力应当成为他们整个教育一部分，C&M的学生大都全身心地投入装备了Mathematica的计算机。他们理解这些专业工具所能开辟的前景，甚至可能比他们的教师理解得更好。
3. 它能行吗？
Kyunmee Park和Kenneth Travers的研究比较了标准微积分与C&M课程：
“
“从成绩考核，对概念间联系的了解和面谈情况看，一般都有利于C&M学生，C&M组在概念理解方面比标准组的程度高，而在（手工）计算熟练性方面损失不大………（有些人认为）实验室课很耗费时间，并使学生过分依赖 Mathematica。但这个研究发现，C&M课程使学生可以在计算上花费较少的时间，而更好地注意概念理解，正因为这样，学生对概念的收获更大而又没有对计算方面的成绩有太大的影响……进一步的，C&M组对于数学和计算机的支配能力远远高于标准组……一般说，C&M组对于导数和积分性质的理解看起来比标准组更清楚……计算机实验室另一个出人意料的好作用是在学生之间建立了密切关系，当学生们围在计算机旁，共同工作，共享想法并发展它们时，数学的许多东西被认识了……（计算机）能力帮助学生发现和检查数学结论，这个方式非常像物理或化学学生在实验室里发现和检查科学定律。这种（计算机）能力为学生提供了机会，使他们能考虑更广泛的问题，见识那些在传统数学书上难以见到的实际的问题。”
”
C&M的学生看来也同意上述认识，下面是他们的一些话；
“我学习数学已经许多年，也做得很好，但是从来没有理解我学的东西，直到你要我来到计算机前并使我看到它。” “看到最后屏幕上的结果时总使我感到很大的满足。使我真正吃惊的一件事就是集中注意力于交流……（C&M）确实促使我用真实世界的语言解释我们的结果……” “我喜欢这种能依次传递的学习方式……在这里如果你第一次没有做对，你就继续坐在机器前直到你做对为止，这样学习就前进” “在这个课程里，我有了为自己证明一些东西的自由……” “总而言之，（这个课程）棒极了，因为它把所有东西都应用于实际。我觉得我参加过的传统数学课程在这个方面不成功………这个课程为我显示了数学如何存在于真实世界中的每个地方，我迫不及待地要去把它弄来并查清它到底怎么样！！” “一旦你理解了基本理论的重要性，就像雪崩一样，你开始更多地注意基本的东西，而如果公式是自己推导出来的，它对你意味着很多东西，我确实理解了Calculus&Mathematica的真正意义和重要性是做出关键判断——在解决问题中需要用哪个数学算法是第二位的事，重要的是理解为什么、怎样，以及公式之间的关系……” “我喜爱………它给我安排时间和课程表的自由，我并不是因为觉得它容易才继续学习并且要在下学期继续选这些课程，而是因为我们学习数学的方式。” “没有其他课程，………激起我这样剧烈的思维活动和内心冲突，也没有其他课程使我由智力的风暴中得到如此的收获……（这个）课程已经使我决心继续在数学上奋斗。”
C&M是对今天令人苦恼的微积分教育问题的一个完全的回答吗？可能不是。C&M尚未证明它对于所有学生都是理想的。那些没有看到微积分在他们所设计的未来事业中的清晰作用的学生可能不希望选学C&M，相信数学不过是手边死记硬背的东西的学生会怀疑计算机能有什么帮助，相信教师的工作不过是教导被动学习的学生的人在C&M课程也难做好。有一大批学生属于这些类型，对他们而言其他的微积分课程可能比C&M更适用。
但是对于另一些学生，他们带着高的期望和动力学习微积分，由于他们计划从事的专业是计算性科学，他们在C&M中会有很好发展。这包括大部分工程专业学生和学数学的学生，还包括参加州C&M远程教育计划的乡村高中学生。伊利诺依学习生命科学的学生在C&M课程中针对他们的章节中做得非常好，以至伊利诺依生命科学学院已经出资为所有新生建立了C&M实验室。
我们个人也被学生投身于C&M课程的方式弄得不知所措。我们希望C&M以及随后更好的课程能够开辟一条道路，使得将来有一天，数学对于它的学生就像对于它的实践者一样。
(参考文献略)