科学网标度不变性的含义是在复杂网络上任选一局部

大量个体的简单交互（无中心控制、非完全信息、局部相互作用），形成复杂的网络行为，并可在宏观上涌现出结构和功能，复杂网络的魅力可窥一斑[1]，领域研究早已遍及自然与社会生活的各个领域[2]。“自从1999年Barabási和Albert在《科学》上提出无标度网络起，迄今为止，普遍认为无标度网络是指度分布有(或至少近似地有幂律形式),P(k) ~ k^(-γ)(这里记号~指渐近正比)。由于人们对这个幂律形式的认识和理解不同，以及网络度上有限与无限的巨大差异，关于无标度网络概念的讨论一直没有停止过。”[3]阎春宁，史定华等还就幂律问题在《复杂系统与复杂性科学》上发表了系列文章[4]，文中将无标度网络细分为精确幂、拟幂律、幂律尾部、幂律行为、幂律关系几个从特殊到一般、相互包含的子类别。

无标度的直接解释通常是 P(ck) = (ck)^(-γ) = [c^(-γ)] k^(-γ) = C k^(-γ) = C P(k), 可见标度改变时，函数曲线的形状和函数的指数都没有变，即具有标度不变性。

标度不变性的含义是在复杂网络上任选一局部，由于其自相似性，局部网络的形态、规律、功能均与原网络不会发生变化，即在尺度伸缩时具有对称性。上述解释很容易地联想到分形的概念，分形来源于几何，但如果仔细地将功能或者信息结构作映射，则分形——对形态的相似性的研究就很可以应用到此二领域；分形是严格的，但可以通过统计意义上的相似来放松约束，扩展其应用范围；分形是理想的，无限嵌套，可以通过增加标度区间来描述实际网络中自相似行为的适用域。

BA模型提出时的机理解释有两个要点，一是增长，二是择优，从而得到节点度具有标度不变性的网络。而变M模型和年龄模型，一般认为不具有严格的标度不变性，但作用机理 T 如果在不同层次是稳定的，是否也意味着存在着某个其他的宏观序参数是标度不变的呢？至少可以定义出一个 F 只跟 T 有关，从而 F（T)是标度不变的，这个函数如果可以区分 T，从而将复杂网络按照形成机理分类。

现在的无标度性是按度增长的规律来对复杂网络分类，这个意义上说，无标度性是一个用来对网络进行分类的方法，幂指数是此网络分类的宏观序参数。这种依靠无标度的分类方法之所以是重要的，因为增长和择优都是朴素的机制，体现了连接机会的均等，这成为现实中区分不同网络形成机理的分水岭。

[参考]

1. 复杂网络研究——现状与前瞻，狄增加，北京师范大学，http://wenku.baidu.com/view/88f39eff910ef12d2af9e776.html，2007

2. 复杂脑网络研究：现状与挑战，张方风，郑志刚，http://wenku.baidu.com/view/3bbb9629bcd126fff7050b3a.html?re=view，2012

3. 无标度网络的争议，史定华，上海大学，http://wenku.baidu.com/view/6a48c427192e45361066f570.html，2012

4. 幂律思考系列文章2——无标度网络的不同定义和包含关系，阎春宁，史定华，http://www.doc88.com/p-9733390632710.html，2014