'相似三角形'几何证明问题中关于比例线段的分析策略探究

Geometric proof

“相似三角形”几何证明问题

解决“相似三角形”有关的几何证明问题首先要熟悉“相似三角形”中基本图形。然而，有些学生虽然初步具备了“从复杂图形中分离出基本图形”的能力，但面对题目中出现的“莫名”的比例式（或乘积式），也常常会束手无策。本文希望从几道经典例题入手，尽己所能，展现处理“相似三角形”证明中关于比例线段的一般分析途径，希望能给读者带来些启发。

· 例1 ·

分析

第1问，左右各一组“共边共角型”

第2问：由于“AE=AF、AB=AC“，易证”EF∥BC“

要证明四边形EBDF是平行四边形，须继续证明“DF∥AB”，其关键在于：分析条件所给比例线段！

研读课本可知，本章节“比例式”有两个主要来源：

① 基于“平行线”所形成的比例线段；

② 基于“相似三角形”所形成的比例线段。

所以分析“比例线段”也就有上述两条基本途径。

解法一

根据第一问所证结论，用AF替换AE

注意到CF与AF是同一直线上有共同端点的两条线段，

若能证明“CF:AF=CD:BD”，即可证DF∥AB。

题目所给出的条件是“CF:AF=DF:DE”，

这就意味着接下去须证明“DF:DE=CD:DB”。

将比例内项互换，不难发现等式左右的线段比恰是左右两组“共边共角型”相似三角形的相似比，而这两组相似三角形的相似比显然是相等。

基于“平行线”所形成的比例线段的线段特征是：同一直线上有共同端点的两条线段。

解法二

从已知条件所给的比利式入手分析：

边DF、CF构成△DFC，DE、AE构成△AED，欲证△DFC∽△AED，需证：∠DFC=∠DEA

或者：

由△DFC∽△AED得∠FDC=∠ADE=∠B，

所以DF∥AB

基于“相似三角形”所形成的比例线段的线段特征：

① 若'横'的两条线段是相似三角形中的'对应线段'，则'纵'的两条线段是同一三角形中的两条线段，反之亦然！

② 根据“对应线段”可以确定相似三角形中的对应关系；根据同一三角形中的两条线段，可确定须证的三角形。

总结｜分析线段比

但问题是题目一般不会那么“善良”，我们需要转换一条线段或转换一租线段比，才能出现它的“原始状态”，而这就需要我们根据具体题目特征分析而得。

· 例2 ·

分析

· 例3 ·

分析

· 例4 ·

分析

第一次转换：AB=AC;

第二次转换：AC:BF=AD:DF

熟悉形，研究(比例)式是处理“相似三角形”几何证明问题的两大抓手，缺一不可，在具体分析问题时须结合“由果索因”或“由因索果”分析策略，从形和式两方面推进证明演绎。相信各位同学经过一个阶段的积累沉淀，对处理与“相似三角形”问题时，会更得心应手。