《測圓海鏡》勾股形“天月坤”﹝10﹞之五和五較說

《測圓海鏡》勾股形“天月坤”﹝10﹞之五和五較說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及第10勾股形天月坤相關之五和五較等式。

關鍵詞：大差弦、大差股、大差勾、天月坤

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，乃研究勾股形最深入之古代數學典籍。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，其中 a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈五和五較〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

本文談及之勾股形乃天月坤﹝又稱為“大差”﹞，亦即以下兩圖帶綠色之二勾股形，天月坤之斜邊“天月”是為大差弦，其直角為 10，以 10 之位置為 “坤”，其勾股分別為  a₁₀ ﹝天坤﹞與 b₁₀ ﹝月坤﹞。

以下為天月坤勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

大差勾 = a₁₀=

=

(c₁ – a₁) 。

大差股 = b₁₀= b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = b₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – a₁。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

大差弦 = c₁₀=

(c₁ – a₁) 。

天月坤勾股形之三事與大弦與大勾之差有關，三事之和較亦可以以 a₁、b₁、c₁ 表之。

若勾股形之弦 = c，勾 = a，股 = b，則以下為五和五較：

(1)      勾股和：a + b

(2)      勾股較：b – a

(3)      勾弦和：a + c

(4)      勾弦較：c – a

(5)      股弦和：b + c

(6)      股弦較：c – b

(7)      弦較和：c + (b – a) ﹝較指勾股較，和指弦與勾股較之和﹞

(8)      弦較較：c – (b – a) ﹝第一較字指勾股較，第二較字指弦與勾股較之較﹞

(9)      弦和和：(a + b) + c ﹝第一和字指勾股和，第二和字指弦與勾股和之和。又稱為三事和﹞

(10)      弦和較：(a + b) – c ﹝第一和字指勾股和，第二較字指弦與勾股和之較。又稱為三事較﹞

以下為與大差弦﹝勾股形天月坤 10﹞有關之“五和五較”等式：

大差上勾股和即大股內去虛勾。其差則大差弦內去圓徑也。弦勾共即大股。其差則大差股內去二之明勾也。股弦和為大股上加個大中差也按大中差乃明股弦和與半徑之較。其較則虛勾也。弦較和為兩個邊弦上勾弦較。其較即城徑也。三事和即大股與股圓差共。又為大弦大較共。又為二邊股。其較則太虛上弦較和也。

以下為各條目之証明：

大差上勾股和即大股內去虛勾。

大差上勾股和 = b₁₀ + a₁₀ = (c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(1 +

)

=

(c₁ – a₁)(b₁ + a₁) 。

已知大股 = b₁，虛勾即太虛勾 = a₁₃=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大股內去虛勾= b₁ –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(b₁² –c₁² + c₁a₁ + b₁c₁ – b₁a₁)

=

(– a₁² + c₁a₁ + b₁c₁ – b₁a₁)

=

[a₁(c₁– a₁) + b₁(c₁ – a₁)]

=

(c₁ – a₁)(b₁ + a₁) 。

所以大差上勾股和 = 大股內去虛勾。

其差則大差弦內去圓徑也。

“其差”指大差上勾股較，勾股較即勾股差。

大差上勾股差 = b₁₀ – a₁₀ = (c₁ – a₁) –

(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(1 –

)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) 。

已知大差弦 =c₁₀ =

(c₁ – a₁)，又已知圓徑 = b₁ + a₁ – c₁，

大差弦內去圓徑=

(c₁ – a₁) – (b₁ + a₁ – c₁)

=

[c₁² –c₁a₁ – b₁(b₁ + a₁ – c₁)]

=

[c₁² –c₁a₁ – b₁² – b₁a₁ + b₁c₁]

=

[ – c₁a₁ + a₁² – b₁a₁ + b₁c₁]

=

[ – a₁(c₁ – a₁) + b₁(c₁ – a₁)]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) 。

所以大差上勾股差 = 大差弦 –圓徑。

弦勾共即大股。

大差上弦勾共 = c₁₀ + a₁₀ =

(c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ + a₁)

=

(c₁²– a₁²)

=

× b₁²

= b₁﹝是為大股﹞。

所以大差上弦勾共 = 大股。

其差則大差股內去二之明勾也。

“其差”指大差上弦勾差。

大差上弦勾差= c₁₀ – a₁₀ =

(c₁ – a₁) –

(c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)²。

大差股= b₁₀ = c₁ – a₁。二之明勾 = 2 ×a₁₄

= 2 ×

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

大差股內去二之明勾=(c₁ – a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)[1 –

(b₁ – c₁ + a₁)]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – b₁ + c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)²。

所以大差上弦勾差 = 大差股內去二之明勾。

股弦和為大股上加個大中差也﹝按大中差乃明股弦和與半徑之較﹞。

大差上股弦和= c₁₀ + b₁₀ =

(c₁ – a₁) + (c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(

+ 1)

=

(c₁ – a₁)(c₁ + b₁) 。

注意“大中差”之定義。

大中差 = b₁₄ + c₁₄ –

(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)
–

(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[

(c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁) – 1]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(b₁c₁ – b₁a₁ + c₁² – c₁a₁ – b₁a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[c₁(b₁ – a₁) + (b₁ – a₁)²]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁)(c₁ + b₁– a₁)。

b₁ 是為大股，大股上加個大中差

= b₁ +

(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁)(c₁ + b₁– a₁)

= b₁ +

(b₁– a₁)[b₁ – (c₁ – a₁)](b₁ + c₁ – a₁)

= b₁ +

(b₁– a₁)[b₁² – (c₁ – a₁)²]

= b₁ +

(b₁– a₁)[b₁² – c₁² – a₁² + 2c₁a₁]

= b₁ +

(b₁– a₁)[ – 2a₁²+ 2c₁a₁]

= b₁ +

(b₁– a₁)[c₁ – a₁]

=

(b₁² + b₁c₁ – b₁a₁ – a₁c₁ + a₁²)

=

(c₁² + b₁c₁ – b₁a₁ – a₁c₁)

=

[c₁(c₁ + b₁)– a₁(b₁ + c₁)]

=

(c₁ – a₁)(c₁ + b₁) 。

所以大差上股弦和 = 大股上加個大中差。

其較則虛勾也。

“其較”指大差上股弦較。

大差上股弦較 = c₁₀– b₁₀ =

(c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(

– 1)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁) 。

虛勾即太虛勾 = a₁₃=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以大差上股弦較 = 虛勾。

弦較和為兩個邊弦上勾弦較。

大差上弦較和=c₁₀ + (b₁₀ – a₁₀) = c₁₀+ b₁₀ – a₁₀

=

(c₁ – a₁) + (c₁ – a₁) –

(c₁ – a₁)

= (c₁– a₁)[

+ 1 –

]

=

(c₁ – a₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – a₁ + b₁) 。

已知邊弦 = c₂ =

(c₁ + b₁ – a₁) 。

邊勾 = a₂ =

(c₁ + b₁ – a₁) 。

兩個邊弦上勾弦較 = 2 × [

(c₁ + b₁ – a₁) –

(c₁ + b₁ – a₁)]

=

(c₁ + b₁ – a₁) –

(c₁ + b₁ – a₁)

= (c₁ + b₁ – a₁)[

–

]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – a₁ + b₁) 。

所以大差上弦較和 = 兩個邊弦上勾弦較。

其較即城徑也。

“其較”指大差上弦較較。

大差上弦較較 = c₁₀ – (b₁₀ – a₁₀)= c₁₀ – b₁₀ + a₁₀

=

(c₁ – a₁) – (c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)

= (c₁– a₁)[

– 1 +

]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ + a₁ – b₁)

=

(c₁² – a₁² – c₁b₁ + a₁b₁)

=

(b₁² – c₁b₁ + a₁b₁)

= a₁ + b₁ – c₁。

上式即為城徑，亦即圓徑。所以大差上弦較較 = 城徑。

三事和即大股與股圓差共。

大差上三事和=c₁₀ + b₁₀ + a₁₀

=

(c₁ – a₁) + (c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)

= (c₁– a₁)[

+ 1 +

]

=

(c₁ – a₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ + a₁ + b₁)

=

(c₁² – a₁² + c₁b₁ – a₁b₁)

=

(b₁² + c₁b₁ – a₁b₁)

= b₁ + c₁ – a₁。

因為大股 = b₁；圓即圓徑，故股圓差 = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = c₁ – a₁。

大股與股圓差= b₁ + (c₁ – a₁) =b₁ + c₁ – a₁。

所以大差上三事和 = 大股與股圓差。

又為大弦大較共。

已知大弦 = c₁；大較 = 大股 – 大勾=b₁ – a₁。

大弦大較共= c₁ + (b₁ – a₁) = b₁ + c₁ – a₁。

所以大差上三事和 = 大弦大較共。

又為二邊股。

已知邊股 = b₂ = b₁–

(a₁ + b₁ – c₁) =

(c₁ + b₁ – a₁) 。

二邊股 =2 ×

(c₁ + b₁ – a₁) = b₁ + c₁ – a₁。

所以大差上三事和 = 二邊股。

其較則太虛上弦較和也。

“其較”指大差上三事較。

大差上三事較即弦和較 = (b₁₀ + a₁₀) – c₁₀ = b₁₀ + a₁₀ – c₁₀。

b₁₀ + a₁₀ – c₁₀ =(c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁) –

(c₁ – a₁)

= (c₁– a₁)[ 1 +

–

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

又因為太虛勾= a₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

太虛股 = b₁₃=

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

太虛弦 = c₁₃=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

太虛上弦較和=c₁₃ + (b₁₃ – a₁₃) = c₁₃+ b₁₃ – a₁₃。

c₁₃ + b₁₃ – a₁₃

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[

+

–

]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁² – b₁² –c₁a₁ + b₁a₁)

=

(c₁ – a₁)(a₁² – c₁a₁ + b₁a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)。

所以大差上三事較 = 太虛上弦較和。

以下為《測圓海鏡細草》原文：