不弄明白这些道理，数学再怎么努力也是白费

吴国平

提到数学学习，一般人都会感到非常头痛，不仅仅是家长和学生有此体会，我们的数学教育工作者有时也有类似的感受。

很多人都知道数学与生活之间息息相关，它既来自于生活，又同时服务于生活。不过，要让我们的教师或学生随便举出一个运用数学知识解决实际问题的例子，就显得比较困难。难道是因为数学对社会发展影响不够深吗？这肯定不是的。

如星体在宇宙中的运动轨迹符合椭圆的几何图形，物体抛出的运动轨迹遵循二次函数的图象抛物，或是在医学上的CT技术、中文印刷排版的自动化、波音777的计算机模拟设计、指纹的识别、石油地震勘探的数据处理、网络系统安全技术等等，在这些伟大成就的背后，数学都扮演着十分重要的不可缺少的角色。

数学难学，更多不是因为学生不够努力，而是对知识本身欠缺足够的认识和理解。无论任何一门科目的学习，第一步都是要熟练掌握好相关的知识内容、定理、法则等，但数学不像其他科目那样，你记熟知识定理之后，就代表你能顺利解题，解决问题。

很多学生本身在理解知识概念上就存在很大问题，如函数的概念，在初中数学课本当中是这么去定义：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。

在这个函数概念当中，什么是每一个确定的值？什么是唯一确定的值？对于一些初学者来说是比较难以理解的知识点，甚至很多解函数题分数较高的学生，在判断函数概念上也会出错。

进入高中之后，数学课本是这样去定义函数：设A，B是非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。

高中的函数定义是从集合的角度出发，让大家能很好理解定义域、值域以及对应法则三者之间的辩证关系，相比初中的函数定义，更加接近函数的本质。不过，在实际学习过程中，很多学生始终没有弄明白函数的定义，以至于影响后面的学习。

如误以为f仅仅是函数，忽视集合A、B连同对应法则f一起，称为A到B的一个函数；定义域、值域以及对应法则为函数的三大要素，而其中值域是由定义域和对应法则决定，但有些学生没有搞清楚集合B不一定是函数的值域，但值域一定是集合B的子集；在函数中表示自变量和函数值的符号可以不同，如f（x）、g（x）、f（t）、h（x）等。

函数的重要性不仅仅只局限于在数学领域之内，它在医学、经济学、物理学、军事等多领域中发挥着重要的作用，为社会发展和人类文明进步作出重要的贡献。因此，要想学好函数，第一步肯定要掌握好相关的知识内容，这样后续的学习才能顺利展开，很多学生感到函数难学，其实一开始就没掌握好知识点，更别提运用知识去解决问题。

数学学习的过程，我们大致可以这么简单去叙述：学习、理解和消化知识点→学解例题→习题训练→运用知识去解决问题等这样四个环节。像考试一般属于第四个环节，但你能多少分，完全取决于前三个环节的努力程度、学习方法等等。

在这个学习过程中，很多人只会花更多的时间去解题做题，而忽视了学习规律，如在学习新知、掌握知识点阶段，没有认真参与知识从产生到形成的过程，只是机械般的记背知识点；学解例题也是把解题过程多看了几遍，以为懂，其实是似懂非懂，对其中知识点的运用等等，完全没有吃透；习题训练无非就是进行题海战术，期望在数量上来战胜数学。

因此，大家也就能很好想明白一个现象，为什么一些学生上课感觉听得很懂，但下课自行解题，做作业就错误百出，考试分数也不是很理想。

数学学习离不开解题，但为什么要解题？解题的意义在哪？做多少题合适？做哪些题合适等这些问题，很多人还不是很了解。解题的目的和意义之一，就是帮助我们理解和消化知识内容，掌握解题方法，吃透题型，提高分析问题和解决问题的能力。

要想学好数学，感受到数学知识的存在，会运用知识去解决实际问题，那就需要大家去遵循数学这一门学科的规律，抓住其本质特点，如系统性、逻辑性等，若背离其规律，那么数学学习之路只会更累更苦。