图解普林斯顿微积分(重制) 02：三角学

[遇见] 这里衷心感谢 @Mr.C 同学协助转成将此系列原文档中公式转成 LaTeX 格式.

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▌2 三角形回顾

▌2.1 基本知识

弧度又称弪度, 是平面角的单位, 这部分内容推荐阅读[《单位圆与三角函数》]

再来回顾下三角函数的内容. 假设有一个直角三角形, 除直角外的一角被记为

,如图下图所示. 那么, 基本公式为

常用的三角函数值需要牢记下来, 这里推荐观看今天发布的另一段视频《手指戏法牢记三角函数值》:

转出数值的形式:

▌2.2 扩展三角函数定义域

三个函数在第一象限

中均为正. 在第二象限

中, 只有正弦为正, 其他两个函数均为负. 在第三象限

中, 只有正切为正, 其他两个函数均为负. 最后, 在第四象限

中, 只有余弦为正, 其他两个函数均为负, 请看下面图形(左上图自维基).

▌2.3 三角函数的图像

是周期函数, 其周期为

, 且为奇函数 - 关于原点对称.

是周期函数, 其周期为

, 且为偶函数 - 关于

轴对称.

与正弦函数和余弦函数不同的是, 正切函数有垂直渐近线. 此外, 它的周期是

,而不是

. 当

是

的奇数倍数时,

有垂直渐近线(因而此处是无定义的).

是奇函数.

余下三个三角函数图像:

▌2.4 三角恒等式

最重要的恒等式 - 毕达哥拉斯三角恒等式(Pythagorean Identities)如下, 这可以从斜边为

的直角三角形由勾股定理得出, 并且可以推导出其他两个等式:

三角函数之间有互余(Identities expressing trig functions in terms of their complements)的关系, 就是说两个角的和为

. 我想这里用

张图来表示下互余的关系:

三角函数的和差公式(sum and difference formulas)可用用欧拉公式得出:

对于上述方框公式中的

和

, 令

时, 我们就会得到另外有用的二倍角公式(double-angle formula).

请确保牢记上面的所有公式. (完)