初等几何笔记（一）：希尔伯特的公理体系 01

本文作者: 宋宁，山东威海人，山东理工大学数学系教师，网名 蒜泥学数学。

第 1 章 破晓：在欧几里得之前

天不生仲尼，万古如长夜！——【宋】朱熹

1.1 不要迷信哥，哥只是传说

大约在文明开始出现的时代，出于生产生活的需要，四大河谷文明（也就是古埃及、古巴比伦、古印度和古中国）陆续开始孕育出最早的数学．此时的希腊还是一片蛮荒的山地和小岛．后世的历史学家称古希腊的这个阶段为“黑暗时代”，这实在是颇为传神：这里没有文明，而且土地非常贫瘠，农业生产远远落后于南方的埃及和东边的巴比伦．为了生计，很多希腊人渡海来到埃及和巴比伦．有人做起买卖，有人成了雇佣兵．但无论从事什么职业，希腊打工仔都不可避免地注意到：文明世界的城市里有着雄伟壮丽的建筑，文明世界的乡村中有着测量完善的土地．当他们询问文明世界的人们：这些建筑是怎么设计出来的？这些土地是怎么测量出来的？他们得到的回答是：几何．

更准确地来说，希腊人在埃及和巴比伦所见到的几何是一种实验几何，或者 称为经验几何，是人们通过大量的实验和观测，总结出的几何规律．这种通过大量的实验和观测总结规律的思维方法，通常称为归纳法．请大家注意，这里的“归纳法”与我们数学上所说的“数学归纳法”不同．这里所说的归纳法，更准确地说，是“不完全归纳”．不完全归纳有两个重要的缺陷：

· 观测有可能不那么精确；
· 即使观测足够精确，对于有无数个实例的问题来说，观测到的实例永远只是一小部分．

尽管（不完全）归纳法有这样的缺陷，但当时的人们能够通过（不完全）归纳发现很多数学理论，这已经是相当难得的了．

慢慢地，古希腊人终于建立起了自己的文明，古希腊的历史也进入了“古风时代”．另一方面，前来埃及和巴比伦学习数学的人也日益增多．在不知学习了多少实验几何学之后，爱辩论、爱较真的希腊人终于发现了实验几何学的这两个缺陷，尽管我们并不确定希腊人是在什么时候以什么方式发现的．我们可以脑洞大开地想象，也许故事就是在这样一次辩论之中发生的：

【故事一】一天，古希腊人老王兴冲冲地把老李叫到他家（请原谅我杜撰的两个名字），开心地说：“老李老李，我做了一件伟大得不得了的事情！我精确无比地绘制了一百种不同的三角形，然后对它们进行了精确无比的测量， 你猜我发现了什么？我发现所有三角形的内角和都是  . 你看我家院子的地上，全是我画的图．”于是老李来到庭院，在仔细看过一百个三角形后，若有所思地说：“ 可是无论你检查了多少个三角形，我总可以再画一个你没检查过的三角形吧！你的结论只是对你检查过的三角形成立，你怎么能保证我所画的这个新的三角形满足你的结论呢？”这番话让老王哑口无言，他陷入了沉思中……

也许这样的戏码不断在古希腊上演，人们终于意识到实验几何还真是不靠谱．也许【故事一】中的老王经过几番深思熟虑之后，终于想到了说服老李的方法，可能当时的情境是这样的：

【故事二】在经历了与老李的那次辩论后，老王认真地思考了一个月，这一天，他亲自来到老李家，他决心一定要说服老李．他说：“老李，你承认不承认下面三个事情：
· 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行；
· 一条直线交一对平行线，所成的同位角相等；
· 一条直线交一对平行线，所成的内错角相等．”

老李想了一下，似乎这三件事情都是难以撼动的真理，于是点了点头．老王接着说，既然你承认这三个事情，那么剩下的事情就好办了．你看，考虑一个三角形 ．延长  到某点 ，然后过点  作 （如图 1.1）．那么  并且 ，所以

只要你承认一开始我所说的三件事，就不等不承认我的结论，因为我的每一步推理都是有逻辑的．”老李发现确实是这样的，只要承认一开始的三个事情，那么内角和是  正是它们的推论．而要想推翻这个结论，只有否定一开始那三个事情．老李点点头，暗自想：嗯，我也要这么干……

我们脑补的故事也许真的发生过．按照古希腊人后来的说法，可能在公元前五世纪前后（实际时间应该大大晚于此时），有一些古希腊数学家针对实验几何的弊端，提出这样一种探究问题的模式：对于所要论证的命题，
· 先确定几个“不证自明”的设定，或已知正确的命题；
· 再使用这些设定和正确的命题，通过逻辑推理，论证所研究的命题．



▲ 图 1.1: 老王的证明

那么，在逻辑推理过程正确的前提下，你只要承认了最初的几个设定，那么 你就不得不承认这个命题是正确的．于是，实验几何过渡到了推理几何，前述推 理过程被称为数学证明．

这种以少数几个设定为论证的出发点，通过逻辑推理论证命题的思维方法， 与之前提到的（不完全）归纳法是截然不同的，我们一般称之为演绎法．其实， 演绎与（不完全）归纳，各有所长，不可偏废．没有（不完全）归纳，演绎就失去了进攻的目标；没有演绎，归纳不过是合理的猜度．所以，在数学学习和研究中，往往是以归纳寻靶，以演绎论真．当然，我们书写出的数学证明必须是演绎的，否则无从求真．

按照某些古希腊人的说法，第一个进行数学证明的人是泰勒斯．他是一个生活在传说中的人，我们对于他知之甚少．实际上，很多关于他的故事并不可信， 所以我们不可能知道他写过什么样的数学证明．而紧随其后的就是大名鼎鼎的毕达哥拉斯．毕达哥拉斯更是一个奇人．他创立了一个秘密宗教，这个秘密宗教几乎不与外界接触，但是后来教团解体，教团成员四散古希腊各地，我们今天才能对这个秘密宗教了解一二．这个宗教最令人难以置信的是，它并不崇拜任何神灵，他们所顶礼膜拜的竟然是自然数．我们不妨就称它为“Number 教”吧！Number 教所信奉的第一教义就是：万物皆数！ 这个学派相信这个世界的一切都由数决定，并可以由数解释．据说我们故事二中的证明就来自他们．但是究竟哪些成果应该归功于教主毕达哥拉斯，哪些成果其实是他的徒子徒孙的，我们不得而知．毕达哥拉斯的弟子们和再传弟子们总是将很多成果归功于毕达哥拉斯，但我们并不知道是否真的是这样．

但无论怎样，在现在的西方世界，他们把勾股定理的证明归功于毕达哥拉斯， 并称之为毕达哥斯拉定理．即使这个定理真的是毕达哥拉斯证明的，我们现在也无从知晓他的证明了，我们只能推测：他很可能使用了相似三角形．因为有明显的证据表明：毕达哥拉斯学派是懂得相似多边形的．因为 Number 教的信仰中， 有一个无法割舍的东西：黄金分割．这从 Number 教的标志就可见一斑，它的标志是一个正五边形内接一个正五角星（如图 1.2），这个图案里就蕴含着黄金分割．

▲ 图 1.2: 毕达哥拉斯学派的标志

在毕达哥拉斯学派正在野蛮生长的时候，古希腊世界却在酝酿一场革命：雅典的平民推翻了暴君的统治，随后雅典逐步开始建立奴隶制民主政体，古希腊的历史进入了“古典时代”，随后这场风暴几乎席卷了古希腊世界各地．偏偏这个时候，毕达哥拉斯学派卷入政治事件中，于是 Number 教的教团不得不解体，毕达哥拉斯也在不久去世，他的门徒们四散古希腊各地．但 Number 教的末日却意外地推动了古希腊数学的发展．伴着毕达哥拉斯门徒的步伐，原来隐秘的推理几何也随之在希腊各地发展起来，数学证明这把大火也随之在古希腊世界熊熊燃烧起来．

当然，现代数学史家对泰勒斯和毕达哥拉斯是否已经开始演绎推理是持保留 看法的．因为泰勒斯和毕达哥拉斯的故事大部分都来自于柏拉图学园学者的著述．而柏拉图学园兴起的时代要晚于毕达哥拉斯的时代，而且柏拉图学园又明显受到毕达哥拉斯学派的重大影响，所以那些著述也许只是传说．

但无论如何，毕达哥拉斯学派晚期的成员肯定是懂得推理证明的，他们很多人同时也是柏拉图学园的早期成员．那么，“柏拉图学园”又是怎么回事呢？它是一所学术机构，位于雅典城外西北角的 Akademy，你可以把它类比于现在的大学，其创始人是著名哲学家柏拉图，学园的门口挂着一块牌子，赫然写着：“不懂几何者不得入内！”

1.2 不懂几何者不得入内！

柏拉图是雅典人．在他出生时，雅典城邦经历了希波战争的辉煌胜利，城邦空前繁荣，但不久便开始与斯巴达展开争霸．到柏拉图成年后，雅典终于在伯罗奔尼撒战争中惨败，之后柏拉图的老师苏格拉底又死于暴民的审判．随后柏拉图对仕途心灰意冷，开始周游列国．在意大利，他受到毕达哥拉斯学派后期学者阿基塔斯的指点，开始研习数学．公元前 387 年，柏拉图返回雅典，在雅典城外西北角的 Akademy，开宗立派招收门徒，建立了学园，后人称之为“雅典学园”或“柏拉图学园”，其学派也被称为 柏拉图学派．

柏拉图认为演绎推理具有无比的重要性，他认为“科学的任务是发现（理想）自然界的结构，并把它在演绎系统里表述出来”（莫里斯·克莱因. 《古今数学思想》）．柏拉图是最早将严密的演绎推理系统化的人．至少在柏拉图时代，古希腊的数学家已经形成了一种共识：真正的几何应该置于演绎推理之下！

在六十多岁时，柏拉图为了专心著书立说，离开了学园的领导岗位，将之 授予好友欧多克索斯．欧多克索斯有两个最著名的成就：一是穷竭法，他的穷竭法已经与我们现代数学分析中极限思想（ 语言）十分接近了，但这并不是我们所讨论的主题（也许以后可以写一本关于数学分析的笔记）；欧多克索斯第二个著名的成就就是比例论.

要说清楚比例论，那我们就不得不解释一下什么是可公度量、什么是不可公度量：

· 考虑两条线段  和 ，如果  恰好可以被分成  个 ，那么就说  可以用  来度量，也说  是  的度量单位；
· 考虑两条线段  和 ，如果存在线段 ，使得  既是  的度量单位又是  的度量单位，那么就说  是  和  的公共度量单位，并且称  和  是可公度线段，否则称为不可公度线段．

回顾一下我们上一节所说的毕达哥拉斯学派，它的首要教义就是：万物皆数． 这里的“数”指的是自然数，也就是正整数．所以毕达哥拉斯学派天然地认为， 不可公度线段是不存在的．但是，据说毕达哥拉斯的一个学生发现了古怪．他说：考虑正方形 ，其中  分别是四边的中点，连接  和  交于 ，如图 1.3 所示．那么  和  应该是不可公度的．这是因为：假设它们是可公度的，取其最大的公共度量单位 ，那么二者都可以表示成  的倍数，设  和 ，那么  与  必有其一是奇数（否则  是更大的公共度量单位）．进一步考虑两个正方形  和  的面积之比，显然是 ．所以， 是偶数， 是奇数，但是这将导致面积之比至多为 ， 矛盾．

▲ 图 1.3: 不可公度量

不幸的是，据说为了掩人耳目，这位学生被学派里的其他人谋杀了．但是随着毕达哥拉斯秘密教团的覆灭，“不可公度线段的存在性”广为流传．这引起了古希腊数学界的恐慌：毕竟有些结论是在假定只存在可公度线段的前提下被“证明”的．后来的数学史学者称之为“第一次数学危机”（真有这么吓人嘛……）．

事实上，我们用现代数学的语言解释可能会更直接一些，所谓可公度线段就是长度之比为有理数的线段．可公度和不可公度的争论，本质上就是要不要引入 无理数而已．欧多克索斯的处理方式是用演绎推理建立了比例理论，从而绕开了无理数（当然这也导致欧洲数学家直到文艺复兴时期也不承认无理数的地位）．

又扯远了……

对于雅典学园，可能最令人称道的还是那块写着“不懂几何者不得入内”的牌子．据说这块牌子还与另一个雅典人有关，他叫：欧几里得！

(第一章完, 下一章 - 伟大的体系:《几何原本》)