数学方法 | 算两次（“数学思想方法导引”第35讲/共36讲）

   第35讲 摘要：“算两次”是一种重要的数学方法，又称为“富比尼原理”。它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，从而建立等量关系。减法运算完后用加法运算检验其结果，除法运算完后用乘法运算检验其结果，都属于“算两次”.通过两个角度去思考问题，从而达到寻找解题思路、进行相关验算的目的。

“算两次” 又称为富比尼原理.它的解题形式，单墫教授将其比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，“一方面…，另一方面…，综合起来可得…”.如果两个方面都是准确的结果,综合起来得到一个等式;如果至少有一个方面采用了估计，那么综合起来可得到一个不等式。

证明题中,用两种方法计算同一个量，更是一种行之有效的基本方法。立体几何中求距离常用的等体积法，就是利用三梭锥可换底的特点，两次计算体积建立等式求高(即距离)。又如在解析几何中求某些动点轨迹，常根据动点满足的两个条件列出等式. 数学中的一些公式、定义有多种表达方式，正是这些公式、定义表达的多样性，使得它们的应用具有很强的灵活性。而“算两次”正是灵活运用、理解公式和定义的一种重要手段. 对于一些等量关系不太明显的定理证明,“算两次”思想帮助我们找到了隐藏的相等关系，巧妙地、“无”中生有地建立等式.事实上，”算两次”可用来证明高中数学中的一些定理如正弦定理、余弦定理、两角和与差的正、余弦公式等。两个角度审视同一个向量、一条切线斜率的两种算法、线段具有的两个表达形式、不同线段摄影的合二为一.......这些都是借用了“算两次”的数学方法。

“算两次”不仅体现了从两个方面去计算的解题方法,更重要的是蕴含着换一个角度看问题的转换思想.波利亚对此十分推崇.“算两次”,是数学家创造发明的法宝,当然也应当成为学习数学、研究数学的一种极其重要的探索方式。

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