平讲平说2464期：一粒芥子纳须弥，奇妙的无穷颠覆常识，有人说他的每句话都是错的，那他的这一句是对还...
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文 | 趙玉平
平讲平说2464期#
昨天我们提到了德国数学家康托尔和他所建立的集合论，可以说集合论的提出具有划时代的意义。自从古希腊时代以来，在2000多年的时间当中，人们对无穷这个概念总是敬而远之。无穷对于人类来说，就像一个捉摸不定的海妖，既充满着魅力和诱惑，又包含着各种不可琢磨的风险。康托尔以一己之力在人类的思想史上，第一次给无穷建立起了符号系统和运算规则，从而揭开了无穷的神秘面纱。康托尔所做的这些工作，引发了数学领域中的革命性的变化，并且促进了很多数学分支的建立和发展。
康托尔所创建的理论，为实变函数论、群论、代数拓扑和泛函分析等等理论提供了坚实的基础，同时也给哲学和逻辑学带来了深远的影响。在建立集合论的过程中，康托尔提出了一系列有趣的又颠覆人们常识的观点和主张，他就指出，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。以这个一一对应为原则，他又提出了集合等价的概念，在无穷集合领域中去探索一一对应关系，会产生很多颠覆人们常识的结论。
我来举个例子，比如现在我们有两条线段AB和CD，其中线段AB比较长，线段CD比较短。我问大家一个常识性的问题，您觉得是AB上面的点多?还是CD上面的点多？在很多人的头脑中肯定是长一点的线段上面的点多，实际上这样常识的想法是不对的，这两条线段上的点是可以建立一一对应关系的，它们是一样多的。证明方法也特别简单，我给出一个简单的几何学的证明方法。现在我们把AB、CD两条线段放到同一个平面上，让它们平行，然后我们连接AC、BD，这样我们就得到一个梯形。接下来我们延长AC、BD，这两条延长线会交于点O，于是我们就得到了一个大的三角形AOB，那么接下来我们在CD上任意取一点S，然后连接O和S这两点。那么OS的延长线跟底边AB必然相交，形成一个焦点，我们定义焦点为S'。然后大家就会发现，对于CD上的任何一点S，在AB上都会形成一个对应的点S'，而且S和S'是严格的一一对应的。如果你觉得CD比AB短，所以它上面的点就要比AB少，那是不对的。
后来康托尔又非常巧妙的证明了，一条直线上的点跟一个平面上的点也可以建立一一对应的关系。我第一次见到他的证明过程，真的是被震撼了一下。现在我们假设有一个线段长1厘米，然后还有一个正方形，它的边长也是1厘米，很明显，边长一厘米的正方形里边可以容纳无数多个长度是一厘米的线段。那么接下来请问大家，你觉得是正方形里边的点多？还是线段上面的点多？实际上，此二者上的点是可以建立一一对应关系的。粗想起来觉得这件事不可思议。既然正方形里面可以包含无数多个线段，肯定是它的点比较多，但实际情况并不是这样。这件事怎么证明呢？方法也特别简单，我们在1厘米的线段上任取一点，比如说这一点是0.6789这个点。大家知道，平面上的点是有横坐标纵坐标的，那么我们把0.6789这个数字分解一下，取小数点后边奇数位形成一个数0.68，取小数点后偶数位形成一个数0.79。然后我们在正方形里边以0.68和0.79分别为横坐标和纵坐标，就可以定义一个点，这个点跟线段上的点就是对应的，而且这种对应关系是唯一的。如果你觉得0.6789太简单了，那么我们可以把这数字加长，比如把这数字变成0.12345678，然后你可以很轻松地把它拆成0.1357和0.2468，接下来就可以在平面上又很轻松地找到对应的那个点。使用这种方法，我们可以让平面上的点和直线上的点建立一一对应的关系。那么这种方法反过来也是有效的，在平面上任意一点，取它的横坐标、纵坐标，按刚才讲的奇偶排列，进行组合，然后就可以在直线上找到对应的那个点，从而建立一一对应的关系。推而广之，我们就会发现，直线上的所有点跟三维空间的所有点乃至N维空间的所有点都能建立一一对应的关系。
进一步大家可以构想一下，假如有一个盒子里边装了好多小球，大家知道小球上是有无限多个点的，我们任取一个小球拿出来，你就会发现，小球上面所有的点跟这盒子里边所有的点是能建立一一对应关系的。进一步想一想，假如那盒子是宇宙，而那个小球是个体，那么个体上的点跟宇宙的点是可以建立一一对应关系的，这件事就有哲学意义了。我们可以很容易地联想到，佛法上所说的“一就是一切，一切就是一”，或者“一沙一世界”这样的智慧妙语。
当然了康托尔不是万能的，集合论也存在瑕疵，这些瑕疵给他本人以及社会大众都带来了困惑。更重要的是，康托尔的研究有很多颠覆常识的东西，这些东西引发了很多人的排斥和反对。这些反对者既有普通大众，也有专家学者，还包括康托尔的同行、同事、老师和好朋友。最后激烈的学术争议和巨大的学术困惑，以及来自一些人的恶意的人身攻击，导致康托尔精神崩溃。可以说在人类的文明进程当中，每一次创新与探索都充满着复杂艰辛和挑战。那些真正的探索者，他们的成就是辉煌的，而他们个人的命运往往又充满了悲壮的色彩。康托尔不是万能的，他的理论也不是万能的，所以有点瑕疵，有点漏洞也是正常的，这就需要一代又一代的后人去不断地完善。
提到“万能”这两个字，就涉及一个著名的悖论，叫万能悖论。比如有人跟你说“海王”是万能的，那么请问，海王可不可以制造一块他自己举不起来的石头？如果他造出来这块石头，既然他举不起来，说明海王不是万能的，如果他造不出这块石头，海王都造不出这么一块石头，说明他不是万能的。
大家可以看到，正反两方面都会出现自相矛盾。昨天推文的结尾处我说了一句话，这句话也存在类似的情况。我告诉大家，我现在说的这句话是错的。大家可以想一想，我这句话要是错的，那么我说的就应该是对的；如果这句话是对的，那我说的就应该是错的，不管怎么理解都是自相矛盾。类似的，我还可以讲一句，我告诉大家，我说的每一句话都是错的。大家想一想，这句话也包含在我说的每一句话当中，那么要按照这句话的意思，它本身也应该不成立；它本身如果不成立的话，我说的话就有可能是对的，你看自相矛盾发生了。那么如果这句话成立的话，问题就来了，你不是说，你每一句话都是错的吗，那么这句话居然没错啊，于是自相矛盾也发生了。仔细想一想，确实有点烧脑。在语言方面的逻辑悖论和逻辑矛盾确实值得我们关注，值得我们小心。
好了，今天内容我们就讲到这儿，平讲平说，咱明天接着说。