第23讲 典型例题与练习参考解答：不定积分的换元法
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第23讲：不定积分的换元法
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：求下列不定积分.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) .
练习2：求下列不定积分.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
练习3：求下列不定积分.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) .
练习4：求 ，其中
练习5：设 是 在 上的一个原函数， . 若
求 的表达式.
练习6：设 是由方程确定的隐函数，求
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：求下列不定积分.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) ；
(10) .
【参考解答】：(1) 由题中表达式知 ，改写函数表达式得
(2) 记不定积分为
【思路一】 改写函数表达式，由不定积分的第一类换元法，得
【思路二】 由不定积分的第一类换元法，得
令 ，则
代入被积表达式，并回代
得
(3) 配方改写函数表达式，凑微分得
【注】：类似(1)，也可令 直接得到结果.
(4) 【思路一】 由第一类换元法，凑微分得
【思路二】 直接令 ，则
(5) 【思路一】 凑项改写函数表达式，换元法得
【思路二】 分解部分分式后凑微分得
分别积分，有
代入得
(6) 将被积函数化为如下最简分式
代入被积表达式，得
(7) 将被积函数化为如下最简分式
对以上各项分别积分，得
代入原积分不等式，得
(8) 改写函数表达式，换元法得
(9) 由三角函数恒等式，降次凑微分得
(10) 改写被积被积表达式，得
练习2：求下列不定积分.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【参考解答】：(1) 令 ，则
(2) 令, ，则
于是，所求积分化为
由换元三角形可得
代入上面的积分结果，得
(3) 令, ，则
于是，所求积分化为
由换元三角形可得
代入上面的积分结果，整理得
(4) 当时，令 ，则
于是积分转换为
由换元三角形可得
代入上面的积分式，得
当 时，令 ，则 ，于是
因此，无论 或 ，都有
(5) 取倒代换，整理得
故当 时，凑微分得
对于 ，类似方法得到相同结果.
练习3：求下列不定积分.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) .
【参考解答】：(1) 【思路一】 令 ，则得
【思路二】 令 ，则得
由于
代入得与上式一致的结果.
(2) 分子分母同时乘以 ，得
【注】：对于该题也可以采取如下变换：
(3) 【思路一】 直接令 ，得
【思路二】 分子分母同时乘以 ，换元得
计算得到与上面一致的结果.
(4) 配方改写被积函数，得
(5) 通过凑项换元得
(6) 令，代入整理得
分子分母同时除以 ，整理得
(7) 配方换元得
(8) 令 ，则由半角公式得
代入积分式并整理得
(9) 由于 ，故改写被积表达式并换元得
练习4：求 ，其中
【参考解答】：对等式两边求导并整理得
于是两端积分并令 ，得
练习5：设 是 在 上的一个原函数， . 若
求 的表达式.
【参考解答】：由题设可知， ，即
两端积分得
代入 ，得
即 . 又由于 ，故得
练习6：设 是由方程确定的隐函数，求
【参考解答】：令 ，代入题中等式，得 ，由此可得函数的参数方程描述
从而可得
代入被积表达式，得
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