三余弦定理在全国卷立体几何压轴题的妙用

三余弦定理：

设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (∠BAC和∠OAB只能是锐角）

通俗点说就是，平面α的一条斜线l与α所成角为θ1，α内的直线m与l在α上的射影l'夹角为θ2，l与m所成角为θ，则cosθ=cosθ1*cosθ2.又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角．

（引用：https://baike.baidu.com/item/三余弦定理/1674811?fr=aladdin）

1. （2019 全国1 卷文科第16 题）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC=2，点P 到∠ACB 两边AC，BC 的距离均为√3 ，那么P 到平面ABC 的距离为___________．

【 解 析 】 如 上 图 ， 由 对 称 性 知 ∠OCD = 45º ， 由 三 余 弦 定 理 得

cos∠PCD = cos∠PCOcos∠OCD，

2.（2017 全国3 卷理科第16 题）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC 所在直线与a，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；

②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；

③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；

④直线AB 与a 所称角的最大值为60°；

其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）

【解析】过M 作b 的垂线，则AM 与MN 所成的角为AM 与a 所成的角，由三余弦公式得

参考书籍：

《立体几何的微观深入和宏观把握》