一个数学问题彻底改变了我对数学的看法

在这篇文章中，我想讨论最早的一个问题，它完全改变了我对数学的看法。这个问题来自2009年的英国数学奥林匹克竞赛。问题内容如下。

找出所有非负整数a和b，使得：

在研究解这个题目的方法之前，我想解释一下为什么我这么喜欢这个问题，这只需要初等水平的算术知识便能解决。我喜欢侦探小说，能够根据一些零散的信息构建一个解决方案，对我来说几乎是一种超能力。

现在回想起来，一开始我只是认为数学只是为了完成一项工作，仅此而已。无论是计算税款，还是计算建筑材料的抗拉强度，我都明白数学是有目的的，但它似乎只是关于知道正确的公式以及如何应用它。对于一些人来说，他们仍然是这样看待数学的。对我来说，现在我把每个数学问题都看成是一个谜。一个有待解决的谜团。

让我们开始解决这个问题。大多数人采取的第一步是将方程的两边平方。这是我们在解涉及平方根问题时被教导要做的事情。这也是我一开始所尝试的。

这样也许会好一点。我们减少了平方根的数量，这很好，但我们也给自己增添了另一个问题。这是这个问题教会我的第一件事。有时候，在直接应用一个看起来正确的方法之前，要问自己。

• 这确实是你所知道的解决这个问题的最佳方法吗？
• 如果这是你知道的最好的方法，这个问题的设置是否是你应用它的最佳方式？

让我在这里详细说明一下。我们所做的事情没有错。然而，在对方程进行平方运算时，我们加入了变量根号（ab）。这给我们带来了困难，因为我们现在无意中把变量a和b所提供的信息混为一谈。

如果我们首先将方程重新排列为：

然后我们可以再次对两边进行平方，这一次我们得到了：

注意，这一次我们又减少了平方根的数量，但我们又把变量a和b分开了。这似乎只是一个简单的区别，但它对我们如何进行接下来的操作有很大的影响。我们现在注意到这样一个事实，即我们新方程的所有项显然都是整数，除了2根号(2009b)。

下面是我从这个问题中学到的第二件事，即演绎推理。既然我们知道两个整数相加或相减的结果总是一个整数，而且我们可以把方程改写为：

我们可以推断出2根号(2009b)确实是一个整数。这是一个巨大的线索。

很少有数字的平方根会得到一个整数（事实上，如果你随机选择一个数字，它具有这种性质的概率为0，这个事实需要另一篇文章来解释）。

那么，我们怎样才能利用这一点呢？首先，我们将尝试将其进一步分解。把它看成是提炼你的信息中那些对你现在没有好处的 "多余的东西"。我们首先注意到：

因此，我们可以说：

所以，既然根号(2009b)是一个整数，那么我们一定有√(41b)是一个整数。因此，我们已经将我们的线索提炼成了一个更清晰的信息。

既然我们已经把信息提炼成最清晰的形式，接下来我们就把它拆开。特别是，我们问自己，"根号(41b)是个整数 "到底是什么意思。这意味着对于某个整数c，我们必须得到41b=c^2，但是根号(41)不是整数，所以只有当b=41d^2时（对于某个整数d），这个式子才有意义，因为这允许我们写出41b= (41d)^2。这就是我们最后的、最能说明问题的信息。非负数b必须是这种形式：

• 对于某个整数d。

把根号(b)移到原方程中的等号上并没有什么特别之处，我们可以很容易地从方程开始计算：

而且一切都会以完全相同的方式进行。特别是，我们会得出类似的结论：对于某个整数e，a=41e^2。我们把这称为对称论证，实际上，我们所要说的是，既然很明显一切都会完全一样，如果我们用变量a替换变量b，我们就不愿意再写下论证，而是直接跳到结论。

所以我们现在总共有以下信息（线索）。

事实上我们可以得出结论，由于a和b是非负整数，所以d和e也是非负整数。

因此，回到我们的原始方程，我们要填入这些线索，并试图得到一些我们之前无法得到的新东西。对我来说，这就像侦探回到嫌疑人身边，原本他应该是什么都不知道的，但现在侦探有了证据，嫌疑人开始出现破绽。

回到原来的方程，我们就有了下面的结果。

这当然是一个更容易解的方程。这个方程的d和e只有非常少的解。

由此，并回顾一下a=41e^2和b=41d^2，我们可以得到全部可能的解.

就这样，又一个谜团被“数学侦探”解开了。