中国特色《数学习题教学》的五个流派
取得这样的成绩:
首先是优秀的数学教师队伍的支撑,根据马立平博士的研究,我国数学教师的水平远高于美国; 其次是我国的优秀传统,如熟能生巧的理念,双基的实施等等. 本章先介绍数学习题教学的五个流派,这集中反映了我国数学习题教学中优秀的传统、理念和做法.
波利亚是著名数学家,他在合情推理方面的论述似乎更受人注意. 国外有报道说,学生无法根据这张解题表去解决问题,国内似乎也没有人声称按这张表解题.
并没有什么出奇的地方,解题时,自觉不自觉地大多有这样四个步骤. 这张表并不是一把万能的钥匙,更不是解题的纲领,它只是一串提示,也许会给解题者一点启发,但问题的解决还必须依靠解题者自己的努力. 没有必要去背这张表,可以根据实际情况问自己几个为什么,或给别人一些提示.
他(波利亚)熟悉的是西方的教育. 对中国的教育,中国人的思维的特点并不大了解,因此,我们更需要切合我国实际的相应著作.
我们中国的数学学习有自己的特点,首先是注重学习效率;同时还重视双基: 华人学生有良好的记忆(九九表,公式法则的背诵),熟练的运算速度,逻辑的严谨表达以及“变式”的重复练习. 这是符合“熟能生巧”的古训的,由此形成了中国数学教学的特色. 这些,是值得我们自豪的.
但武功仍要从一招一式入门. 解题也是如此. 这种“无招胜有招”的境界,就是“大巧”吧! 但是小巧果然不足取,大巧也确实太难,对于大多数学子,还要重视有章可循的招式…… 大巧法无定法,小巧一题一法. 中巧呢,则希望用一个方法解出一类题目. 也就是说,把数学问题分门别类,一类一类地寻求可以机械执行的方法,即算法. 这是我国古代数学的特点,和优秀传统.
恐怕这种“大巧”还是要靠个人领悟,难以言传; 但如果不讲方法,搞题海战术,一题一法,这种“小巧”也不可取,对于数学教学而言,还是要讲求循序渐进,学习有章可循的解题通法.
一是有固定程式的题,如解一元一次方程; 二是没有固定程式的,如几何证明题. 对于前者,应该提炼出有效的算法,一步一步按部就班即可; 对于后者, 我们也应该总结出一些规律,若干个方法,指出先思考什么,再用哪种方法,使之有方向可探,让解题经验显性化.
上海老一辈的数学教育家赵宪初说:“先要举三反一,才能举一反三.”赵老说的“一”,应该就是指规律. 要知道,赵老执教的是上海的名校——南洋模范中学,这个学校的毕业生中有30多名院士,著名的计算机专家王选院士和数学家张恭庆院士就是其中的两位. 这个学校的学生水平都是了不得的,对这样的学生,教师尚且要先“举三反一”,帮助他们总结出规律来,然后才能“举一反三”,更何况一般的学校呢? 所以总结规律是很重要的. 北京的名师孙维刚提出:“一题多解,多解归一,多题归一”,也有总结的意思在其中. 福建的名师任勇更是直接,他认为:“概括各类问题的解法是一种重要的数学记忆模式.”
一个是西方的公理化; 另一个是东方的算法.
有一种观点叫“相同要素论”,即新问题与原有知识之 间有“相同要素”,可以迁移; 还有一种是美国心理学家贾德的概括化理论:概括出一般原理容易迁移.
人的智力分布呈正态分布,即聪明的和愚笨的占少数,中间状态的占绝大多数. 不能期望人人都掌握大巧,正如张院士说的那样:“大巧”还是要靠个人领悟,难以言传. 张景中院士在论述中巧说时,很谨慎地用了“对大多数学子”这一词语:“对大多数学子来说,还要重视有章可循的招式.”
而如果采用中巧,把数学问题分门别类,一类一类地寻求可以机械执行的方法,并把这种方法教给学生,效果肯定是好的. 戴再平教授认为:模式识别是解数学题时广泛采用的策略.
傅学顺既受到华罗庚、关肇直等学者的培养,也得到钱学森的指点; 既研究波利亚这样的国外学说,也研究总结像我国的原北师大副校长傅种孙先生这样的前辈数学教育家的经验.
优秀生脑海里不仅储存有定理及其证明,而且储存有另外的许多基本问题及其解法. 一拿到数学问题,通过联想(或其他思维方法诱发),可以迅速认出问题中包含的一个个基本问题(称为反应块),从而把难题分解,迅速降低难度.
20世纪八九十年代,上海的徐方瞿老师提出了“基本图形分析法”; 上海南洋模范中学的江志英老师在教平面几何时,十分重视从已知条件里能够伸展出什么结论来; 还有许多教师,强调学生要记住112,122,132 ,…, 192的值,等等,应该说都是强调积累,记住定理公式的一些推论,记住基本图形的性质,记住一些典型例题,记住一些数据,便于在解题时迅速调用. 由于脑子里有不少反应块,学生在调用时,会产生“一看到……就想到……”的反应.
我们常常在解题时遇到这样的情况:这道题和以前做过的某道题有类似的地方,这就是在寻找“相同要素”,于是就把解原来那道题的方法、经验迁移过来. “相同要素论”是从具体到具体的迁移.
一个好的数学家与一个蹩脚的数学家差别在于,前者有很多具体的例子,后者只有抽象的理论. “例子”可以使概念法则具体化,也可以促进迁移.
华罗庚的学习经验是:聪明在于勤奋,天才在于积累. 张奠宙教授在《中国数学双基教学》一书中提岀中国数学双基四大特征:记忆通向理解形成直觉,运算速度保证高效思维,演绎推理坚持逻辑精确,依靠变式提升演练水准,明确指出记忆在数学学习中的重要性. 西方强调理解,甚至认为不理解的记忆,3个月一定忘记. 而我国古代传统认为记忆和理解相辅相成的.
然而,对于一时不怎么理解,可以先记住了,并在运用中慢慢加深理解,也是一种有效的学习方法. 人生识字糊涂始,就是这个意思. 如,九九表,有多少孩子能够理解它的意思?先记住了再说,以后慢慢地理解它.
优秀生从不就事论事,决不放过解题过程中的任何“副产品”: 或把此题升华为定理形式…… 或寻找顺便解决了的命题、公式和数据; 或寻找尔后有用的思维方法; 或“减弱”假设, 或“加强”结论,看能否得到更“精”的命题; 或探讨逆命题的真假…… 优秀生解一道题往往可以引岀几道新题,解决了就一并存入脑海,使知识体系不断膨胀,使思路向各方延伸,使自己善于识别改头换面的问题.
张奠宙教授说,变式练习是中国数学教育的一个创造. 通过变式练习,教师为学生的思维发展提供了一个个阶梯,重复但不呆板. 有利于学生构建完整、合理的新知识.
大多数人成年之后,基本上把数学知识都忘得差不多了. 可见,留在头脑里的东西,有多有少,因人而异. 少的可能只知道三段论, 多的可能记住了化归、反推、特殊化等等. 不论多少,这些在脑子里留下的东西确实是涉及数学素质的东西,而这些东西大多是数学思想方法.
数学教学中关注数学思想方法的提炼,是中国数学教育的重要特征, 到现在为止,西方的数学教育界,还没有像我们这样地关注数学思想方法.
①总是要站在系统的高度教、学知识; ②更着重对数学中的哲理的发现、汲取; ③让学生做课堂真正的主人; ④题不在多但求精彩,学会一题多鮮、多解归一、多题归一; ⑤从初一开始,就提倡和指导学生开展问题研究,练习写论文.
一题多解讲的是思维活跃,讲的是发展; 而多解归一、多题归一(他总结了4个大规律,15个中规律,40个小规律),则是总结、提炼,是收敛思维.
首先是对数学内涵揭示深刻; 同时,又调动了学生学习积极性,使学生的思维非常活跃.
如,在揭示数学内涵方面,我国大多数数学教师,在数学解题中都注意突岀数学思想方法. 又如在调动学生学习积极性,激发思维方面,南京师范大学附属中学的马明老师就特别重视启发、激活学生的思维,他一生中上课无数,但没有录过像,为什么? 就是因为他为了启发、激活思维,对有价值的问题不惜时间进行探讨,因此常常会完不成事先设计的教学内容. 再如,“MM”实验也是强调既教论证,又教猜想的. 又如,上海市西南位育中学的陆云亭老师有时在课上只讲一两个例题,当学生说岀了一个正确的解法时,陆老师还要问:“你是怎么想出来的?”就这样,层层揭示学生的思维过程.
有的从强调归纳、总结的角度(中巧说), 有的从组织安排例题习题的角度(变式教学), 有的从联想的角度(反应块思想), 有的强调数学本身的特征(数学素质论) ……都形成了各自的特色,都是有效的.
“中巧说”,适合于大多数学子, “反应块思想”对全体学生也都有效,但对中等以上的学生可能更有施展的余地, “变式教学”、“数学素质论”早已为广大教师所接受,并已经广泛使用, “孙维刚风格”是大家学习的榜样,但由于他宽阔的知识面和独特的个人魅力,以及他留下的经验的操作性不够,广大教师学习起来有一定的困难.
邹生书数学
2021年第三季度
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