中考数学压轴题分析：变态四边形边角问题

本文内容选自2021年河北中考数学压轴题。本题比较巧妙，利用四边形的不稳定性，根据四边形的边角关系，得到固定的三角形，进而求得边与角。是一道值得探究的问题。

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【中考真题】

（2021·河北）在一平面内，线段，线段，将这四条线段顺次首尾相接．把固定，让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时，，将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图1，当时，设与交于点，求证：；
发现：当旋转角时，的度数可能是多少？
尝试：取线段的中点，当点与点距离最大时，求点到的距离；
拓展：①如图2，设点与的距离为，若的平分线所在直线交于点，直接写出的长（用含的式子表示）；
②当点在下方，且与垂直时，直接写出的余弦值．

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【分析】

论证：当AD与BC平行时，易得△ADO与△BCO全等，可以得到AO与BO，进而得到结论。此时图形的形状是固定的。

发现：当α＝60°时，可以得到点A，B，D三点是固定的。此时可以得到BD的长为10√3，那么△BCD的三边也是固定的，那么形状与大小就是确定的。可以得到△BDC是顶角为120°的等腰三角形，此时∠ADC为90°±30°，结论易得。

拓展：①虽然d为变量，但当d的值确定时，图形的形状也就确定了。可以画出草图，如下：

求BP的长，其实就是求DP的长。可以考虑过点D作AB的垂线，构造直角三角形，建立等量关系。

设BP=a，BG=m，AG=b，那么即可得到b=20-m，在Rt△DPG中，可以得到a²＝（m-a）²＋10²﹣（20-m）²，即可得到a与m之间的关系。

再在Rt△BDG中，根据勾股定理可以得到d²=m²＋10²﹣（20-m）²，进而得到d与m的关系，代入可以得到a与d的关系。

当然，还可以考虑用相似、三角等知识进行求解。

②当AD与CD垂直时，可以发现形状又是固定的。此时AC＝10√2，BC＝10，AB＝20，那么就可以得到△ABC的三个角的大小。当然，可以考虑过点C作CK⊥AB，得到它们的三角函数值。

过点F作FH⊥AC，那么求α的余弦值，其实就是求∠FCK的余弦值，只需得到CK与CF的比值即可。设FH为x，表示出AH与CH，利用相似可以得到x的值，进而得到CF的长。即可得到结论。

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【答案】论证：
证明：，
，，
在和中，
，
，
，
，
；
发现：①设的中点为，如图：

当从初始位置绕逆时针旋转时，也从初始位置，
△的位置开始也旋转，故和都是等边三角形，
此时，
综上所述，为或；
尝试：取线段的中点，当点与点距离最大时，、、共线，过作于，过作于，如图：

由已知可得，，，
设，则，
，
，
解得，
，
，
，，
，
，即，
，
点到的距离为；
拓展：
①设直线交于，过作于，连接，连接，如图：

，平分，
，，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
，
；
②过作于，如图：

【方法一】

设，则，，
，，
，
，
即，
，，
中，，
，
，
，
即，
，
，即，
两边平方，整理得：，
，
，
解得（大于20，舍去）或，
，
．
【方法二】过作于，过作于，如图：

，，
，
，
，
解得，
，
中，，
中，，
设，则，，
，
，
解得，
，
中，
．