「假」能推出「真」？数学中不为人知的秘密！

[遇见数学创作小组] 作者: 心如止水

心如止水，Java程序员。善于把复杂的数学知识，简洁易懂地表达出来

一个简单的小题，先别看答案，来试试看：

所以「当 A 真时 B 一定假」，所以 T⇒ F 是

请判断以下列命题的真假：

2≠3 ⇒ 1.5 是有理数 (1)

2≠3 ⇒ 1 是质数   (2)

2=3 ⇒ 1.5 是有理数 (3)

2=3 ⇒ 1 是质数 (4)

只有第二个是假，其他的都是真(我是认真的)。你做对了几个？

这是挺反直觉的，第 3 个和第 4 个绝对不可能是对的啊！前提是假的，为什么命题还能是真的呢？难道胡说八道就可以证明数学命题了吗？

数学是严谨的，它的用语和自然语言和是有区别的：「⇒」的并不是「推出」，而是「蕴含」(条件)，「A ⇒ B」表示「A为B的充分条件」，而不是「因为A所以B」(「A ├ B」)。1

在「蕴涵」中，前件为「假」，后件无论为「真」还是为「假」，命题都是「真」。

「A ⇒ B」表示「A 是 B 的充分条件」。

所以「当 A 真 时 B 假」(T⇒ F) 这个命题是不成立的。

但这也就是唯一的「命题为假」的情况了，因为「充分条件」不满足时，A 对 B 没有约束力(A 不是 B 的必要条件)2，前件为假时，后件无论真假，都是可以的。

就拿 「2=3 ⇒ 1.5 是有理数 (3) 」来说吧，「2=3」 是 「1.5 是有理数 」的充分条件，那么 「2=3」(F) 和 「1.5 是有理数」(T) 这两个命题是可以先后发生并同时存在的，因为 「2=3为 F」 这个事实，并不会对后者造成任何干扰。

用一句谚语来说就是「条条大路通罗马」。

举一个生活中的例子：新药上市前要做「双盲对照实验」，「对照组」的病人吃的是假药，但是其中也不乏康复者，这就是 F ⇒ T 的典型案例，是符合逻辑的。

不过这和数学又有什么关系呢？平常做题的时候会用得到吗？

▌蕴含和推出

数学上很多东西就是这样，看似无用，其实用处大着呢。

翻开一本高等数学的教科书，经常会看到书中把「⇒」叫做「推出」，这么说也是没错的，「├」就是在「⇒」的基础上加上了「因果」。

「因为 A 所以 B」，A 至少是「充分条件」，所以「⇒」的道理在「├」中完全适用。

「⇒」是比「├」更基本的道理，它和「∨」、「∧」以及「¬」构成了逻辑的地基，支撑了整个数学大厦。

「2=3 ⇒ 1.5 是有理数」为真，挺反常识的，但「2=3 ∨ 1.5 是有理数」大家就都懂了，其实「⇒」与「∧」都是逻辑运算，不包含任何因果的判断。

计算机里有「与门」、「或门」和「非门」，同样的也可以用电路生成「蕴含门」，但是不能用电路生成「推出门」，如果真的能做到，数学家都可以下岗了。

借用一句数学名言：「逻辑运算」是上帝创造的，其余的都是人工作。

「反证法」是常用的证明技术，它之所以行得通，那要仰仗于「⇒」：想证明 ϕ 为 T，假设 ¬ϕ 为 T，再得到 ¬ϕ ⇒ F，就证明了 ¬ϕ 其实为 F，那么 ϕ 为T。

喏，这就是「反证法」了。

「⇒」保证了「反证法」是真理，但无法保证你的 「反证」 是真理，那是你的工作。

▌数学的本质

这东西也能叫数学吗？！没错，这就是数学，数学早就不只是「计算」了：住店的时候，让服务生给腾个房是数学，那是「希尔伯特旅馆」；去格尼斯堡旅游，不想走冤枉路是数学，那是「格尼斯堡七桥问题」；搬家的时候想选一个沙发，还是数学，你需要知道「沙发常数」。

一种特定的研究之所以被归类为数学，并不是基于什么被研究，反倒是基于它如何被研究。

什么是数学？这基于研究的方法论：数学是研究模式的科学（science of patterns）。  3

最初，「数学」关注的是「计算」：数学是量的科学 —— 亚里士多德。后来，数学也是关于「几何」的学问：数学是一门研究现实世界的空间形式和数量关系的科学 —— 恩格斯。

而「希尔伯特旅馆」是关于「无穷」和「集合论」的模式，人们发现数学并不只是形状和数量，还是「A属于B」这种基本的模式。

在科学中，「实践是检验真理的唯一标准」，而数学却超脱于科学之上，作为「科学的语言」的数学本身就是「真理」，并不需要实验来检验。

大道至简，世界是五彩斑斓的图画，数学就是背后的素描骨架，寥寥数笔却决定了世界的形状。

佛说「色即是空」，永恒不变的东西才是真，数学就是这样真的东西。对数学家投去尊敬的目光吧，他们研究的是宇宙最基本的真理。

想看透这世间纷纷扰扰，读数学吧，「如果有人不相信数学是简单的，那是因为他们没有意识到人生有多复杂。—— 冯诺依曼」。

想有「真」本事，来学数学吧，翻开上世纪的教科书，科学已满是谬误，而数学的真理却依旧闪耀。

▌参考资料

1.《数学的语言》

2.《数学史简明教程》

3.《数学思维导论》

4. blog.csdn.net/Trent1985/article/details/80578841

5. huanlan.zhihu.com/p/35915275

6. www.civitaslearningspace.com/tag/data-science/

7. zh.wikipedia.org/wiki/逻辑运算符

8. zh.wikipedia.org/wiki/逻辑符号表

▌注释

[1]  → 、⇒ 、⊃ 经常被混用，在数理逻辑等数学中常用 ⇒ 和 →，非数学逻辑学家(哲学家)常用 → 和 ⊃ ，这篇文章中他们指的都是「实质蕴含」(条件)。至于╞ 和 ├ 还要区分用法，感觉上那都是哲学家的事情。

[2] 如果A 是 B 的 「必要条件」，那么就意味着，没了A， B 是真不了的，所以当 「A为假」时对「B」就有约束力了，真值表就要变了。

[3] 提出者是阿尔弗雷德 · 诺斯 · 怀特海（Alfred North Whitehead,1861-1947 年），英裔美籍数学家、哲学家，因其数理逻辑、科学哲学和形而上学方面的成就而闻名于世。这人是伯特兰 · 罗素的老师。