数学建模视频课程第 1 辑：数学建模初识
第 1 讲：数据拟合
——Lagrange 多项式
内容要点：
数据拟合的目的：预测、插值 不是总能找到多项式函数经过任意数据点 经过每个数据点的多项式函数的唯一存在性 Lagrange 多项式函数的公式 Lagrange 多项式函数拟合的优缺点
学习目标：
会用 Lagrange 多项式拟合数据。 能够从原理上解释 Lagrange 多项式拟合的局限性。
基于高中课内内容：
多项式 多元一次方程组
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第 2 讲：数据拟合
——三阶样条法
内容要点：
三阶样条关注单调性与凹凸性 三阶样条就是“用光滑曲线顺次链接数据点”的自动化形式 三阶样条需要赋予两个边界条件 观察拟合效果，可以使用残差图 三阶样条的优缺点
学习目标：
会用三阶样条拟合数据。 能够从原理上解释三阶样条法的局限性。
基于高中课内内容：
三角函数 导数 多元一次方程组
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第 3 讲：数据拟合
——最小二乘法
内容要点：
最小二乘法原理 最小二乘法线性拟合 简单的最小二乘法非线性拟合 用线性化方法解决部分非线性拟合问题 三种拟合方法优缺点及适用性比较
学习目标：
会用最小二乘法线性拟合符合线性趋势的数据。 会用线性化方法处理简单的非线性拟合。 能够从原理上阐述三种拟合方法之间的优缺点及适用性对比。
基于高中课内内容：
含参二次函数最值分析 导数 基本初等函数 多元一次方程组 向量
（备注：最小二乘法线性拟合本身是高中课内必修内容）
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第 4 讲：人口模型（1）
——模型假设和模型建立
内容要点：
人口模型的研究目标 人口模型的基本假设，既要考虑现实合理性，又要考虑数学上的可计算性 通过考虑变化量和状态量之间的关系建立数学模型 建立模型时需要考虑单位和量纲 建立数学模型不是一蹴而就的过程，需要反复思量修订
学习目标：
能够解释人口模型的基本假设。 对于具有类似基本假设的现象，能够建立类似的数学模型去描述。
基于高中课内内容：
导数 数列递推 基本初等函数
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第 5 讲：人口模型（2）
——模型求解：解析方法、定性分析与离散化
内容要点：
模型求解可以从解析解、定性分析、离散化数值解三个角度进行分析。 不同解法关注的侧重点不同，每个解法都有容易得到的规律，这些规律对于从不同侧面理解人口模型都有裨益。 离散化数值解只是一种逼近，并不是精确的，但是并非就不能挖掘规律。 定性分析虽然无法得到精确预测和插值，但是往往可以发现共性规律。
学习目标：
会用解析方法、定性分析法和离散化方法分析人口模型。 能够从原理上阐述各种求解方法之间的优劣对比及适用性。
基于高中课内内容：
导数 数列递推 基本初等函数
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第 6 讲：人口模型（3）
——模型的参数拟合
内容要点：
参数拟合可以在不同阶段以不同方法进行，拟合效果有差别。 拟合效果可以用残差图来观察，但是预测效果必须用新的数据来观察，不能用“用于拟合的数据集”来检验“预测效果”。 对于关键参数，有时需要人为给定一个先验值，但是严谨起见需要观察这个先验值的波动对结果的影响是否明显，最好选取一个效果最优的值。 非线性拟合相较线性拟合不仅更难计算，而且对于数据的波动反应更为敏感。线性化是一个非常有效的方式，但是二者的结果并不能完全等价，只是两种近似方法。 观察误差大小时，应结合绝对误差和相对误差综合观察。
学习目标：
会用至少一种办法拟合人口模型的参数，并得到较为可靠的人口极限预测值。 会对模型中的关键参数进行灵敏性分析。
基于高中课内内容：
导数 数列递推 基本初等函数
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第 7 讲：人口模型（4）
——通过人口模型谈数学建模的过程
内容要点：
数学建模的主要过程：提出问题 → 基本假设 → 符号约定 → 建立模型 → 模型求解 → 模型检验 → 模型应用 数学建模的过程并非一蹴而就，而是在检验中不断迭代精进 数学建模的学习具有多种好处，从“用以致学”到“学以致用” 国内外数学建模教育的侧重点不同，但是殊途同归 数学建模是提升数学各核心素养关键枢纽 自然世界的广度、态度、温度通过数学建模传达给数学世界，同时传达到热爱自然和数学的人们。
学习目标：
明确数学建模的主要过程，及过程之间的衔接关系。 了解数学建模学习的必要性和好处。
基于高中课内内容：
导数 数列递推 基本初等函数
（备注：数学建模的过程是新课标高中课内必修内容）
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第 8 讲：数学建模之优化
——以网络水流协议为例（1）
内容要点：
数学建模可以用来做优化、决策和设计。 优化模型的范式=目标函数+约束条件。 当环境没有变化时，约束条件不需要改变；如果目标发生变化，只需要改变目标函数即可。 求解优化模型时，可以使用计算软件，也可以使用不等式基本性质。注意等号成立的条件，这是协议的关键。 数学建模因为往往需要处理大量数据，所以掌握 EXCEL、Mathematica、Matlab 等科学计算软件之一会大有裨益。
学习目标：
明确数学建模的三个用处：优化、决策、设计。 理解并记住优化模型的一般范式：目标函数+约束条件。 会依据目标的改变调整或重新设定简单的目标函数。
基于高中课内内容：
线性规划 不等式
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第 9 讲：数学建模之优化
——以网络水流协议为例（2）
内容要点：
优化模型可以使用几何方法解决。 现实问题的优化模型往往要考虑效率与公平的统一，而二者的统一往往受限于“效率”与“公平”的几何结构。 在制定协议时，需要尽可能方便用户操作。 求解某些目标函数非线性的优化模型，可以采用先升维再降维的方式，这也是很多大数据处理的常用办法。 数学建模中某种理念或想法的实现，需要综合调用学过的数学知识，这需要扎实的数学功底。
学习目标：
理解“效率与公平之间的统一往往受限于内在的几何结构”。 学会针对本案例模型的“升维”和“降维”的处理方式，能完成具体计算。
基于高中课内内容：
线性规划 不等式 统计初步 立体几何（包括空间向量）
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第 10 讲：数学建模之决策
——以投球手击球手模型为例（1）
内容要点：
决策模型最后也转化为优化模型。 决策模型转化为优化模型，其约束条件和目标函数中的函数来源自行为的概率度量，其不等号方向由博弈双方的立场和视角所决定。 从现实问题到决策模型，重点在于将行为参数化、将收益期望化、将目标几何化。 决策模型的构建也需要历史数据，模型建立的过程，其实也是通过概率期望将历史数据中所蕴涵的信息暴露在几何结构当中的过程。
学习目标：
学会针对本案例模型中将行为参数化、将收益期望化、将目标几何化的方法，能完成具体计算。 理解针对相同历史数据的约束条件和目标函数会因双方的立场和视角不同而不同。
基于高中课内内容：
线性规划 不等式 离散随机变量的期望
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第 11 讲：数学建模之决策
——以投球手击球手模型为例（2）
内容要点：
博弈的均衡是否存在取决自于几何化后几何对象的特征。 分析几何对象时，需要综合调用学过的数学工具，灵活观察，核心是找到其特征点，并观察特征点的性态。 将对几何现象的观察转译为对现实问题的解决方案，这是关键的一步，也是最体现对数学理解的一步。 投球手击球手模型不仅适用于棒球比赛，也适用于公司之间的博弈等一切具有类似基本假设的问题。数学模型都具有泛性，即对于具有相同基本假设的问题均适用。
学习目标：
理解双曲抛物线的鞍点对应着博弈均衡。 会分析二人博弈中均衡点的稳定性。
基于高中课内内容：
空间向量 不等式 离散随机变量的期望 圆锥曲线（抛物线和双曲线）
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第 12 讲：数学建模之设计
——自平衡支架与星形线（1）
内容要点：
用数学建模做设计，往往需要跨学科获取信息，从而列出条件方程。 将设计的目的转化为数学方程，那么好的设计就来自于方程的解。 在解设计方程时，对已有知识的迁移和调用往往能达到事半功倍的效果。这和设计师需要经年累月的经验一样。 自然界充满着丰富的创意，这些创意往往蕴含在几何学的宏伟花园中，需要借助数学的工具去挖掘。
学习目标：
会使用能量守恒列出自平衡支架的约束方程。 会通过知识迁移和调用计算出自平衡支架的具体参数。
基于高中课内内容：
（物理）能量守恒定律 导数 解析几何
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第 13 讲：数学建模之设计
——自平衡支架与星形线（2）
内容要点：
星形线零件可以借助两个圆形模具制作。 星形线具有很多奇妙性质，例如周长与圆周率无关，但是面积却又与圆周率相关。 在分析星形线的构造和性质的时候，用到三角参数化和向量相结合的方法。数学知识的整合往往就是会达到这样事半功倍的效果。 星形线由于其美好的性质和容易构造的特点，在理论物理、工业设计中广泛应用。
学习目标：
能写出星形线的参数方程，并证明其构造方法。 了解星形线的周长和所围面积公式，以及星形线在理论物理和工业设计中的应用。
基于高中课内内容：
三角函数 参数方程 平面向量
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作者说明：
本系列视频是《数学建模视频课程》，配套国家课程标准，只需高中课内知识水平即可掌握，适合全国高中生及低年级本科生学习。
本视频课程共企划为 4 个专辑，在开发期间陆续通过 B 站公开发布。
本课程配套教材《面向建模的数学》将于 2020 年 5 月份前后由清华大学出版社出版，该书由林群院士作序，张平文院士和国家课标组长王尚志教授作推荐词。
欢迎各位朋友关注和交流。
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