浅谈促进理解的数学教学 ——以“小数的意义”的教学为例

内容提要：“为促进理解而教”是国际认可的数学教学的理性追求。在数学教学中如何实现促进理解呢？本文以“小数的意义”教学为例，具体阐释了一些行之有效的实践策略：探明原理，让学生明晰“理解什么”；经历过程，让学生卷入“怎么理解”；多重联系，让学生实现“理解深刻”。
关键词：为理解而教  原理  过程  关联

认知心理学认为：“理解实质上就是一个学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有的信息建构内部心理表征，并进而获得心理意义的过程。”与一般的“理解”相比，数学理解具有典型的学科韵味。首先，理解的对象是数学的概念及其关系,理解意味着对数学概念的内涵和外延的准确把握，对概念之间相互关系的清晰认识。其次，数学理解是过程与结果的统一。从过程方面看，数学理解是学生与数学知识沟通对话，相互融合，不断成生新的认知结构的过程。从结果方面看，数学理解则可以看成是学生数学学习的一种“获得”，是外在的数学结构在个体心理上的投射。

基于如上认识，我们在数学教学中，需要把握数学的本质要素，突出意义的建构过程，并完成习得数学知识在一定程度上关联与闭合，从而实现数学的真正“理解”。

一、探明原理，让学生明晰“理解什么”

英国学者P·欧内斯特说过：“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学上的争议。”一般认为，数学知识的本质，既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性。数学教学教什么？无用置疑，摆在第一位的一定是教学内容的本质和内涵。

小数的意义是什么？追根溯源，小数并不是由分数改写而产生的，而是自然数的十进位值计数规则加以扩展的结果，它是以10的N次幂为分母的另外一种表示形式，是十进制计数向相反方向衍生的结果，其本质就是十进制分数的另一种表现形式。小数和整数在形式上是统一的，小数的出现也使十进制计数法从整数扩展到分数，数的内涵更加丰富了。数的形式改变了，但其中不变的是相邻两个计数单位之间的进率还是10。

借助生活。“小数的意义”怎么进入学生视野呢？可以从生活中常见的测量身高现象为载体构成情境串展开。第一则情境围绕“小军的身高是1.4米”，让学生思考“这里的1和4分别表示什么”，使其明白，这里的“4”是4格，表示把1米平均分成10份，取了其中的4份，表示0.4米，接着以此为基点逐渐建立起一位小数的基本含义，即“一位小数表示十分之几”；第二则情境围绕“半个学期后，小军再一次量了身高，身高到了1.4到1.5之间，你能想出办法知道他现在的身高吗？”展开，引导学生进一步理解：可以把1.4与1.5之间继续平均分成10份，现在高出的3小格，每一小格是0.01米，即他现在的身高就是1.43米，并在大量素材的比较中建立起两位小数的意义，即“两位小数表示百分之几”；然后，以大问题“你觉得还有几位小数？请你任选一个两位以上的小数，利用表格或纸片进行研究”驱动，把学生带到一个更大的空间之中，任学生的思维自由驰骋，在自我感悟、全班共研的环境中形成对更多位小数意义的理解。

关注创造。“小数的意义”还可以怎么进入学生视野呢？我们可以创设让学生画“0.46”的大问题，让学生的思维一次又一次处于“悱愤”之中。对于画0.46，大多数孩子都会想到要涂出比4格多一点，多多少呢？在深度卷入中逐渐明白，可以将第5格再平均分成10份，涂6份。进而引思：同一幅图中出现了两个计数单位，怎么才能统一计数单位呢？从而画出了更为精确的网格图，将正方形平均分成了100份，这样，计数单位悄悄变化，凸显了相邻十进制计数单位之间的关系，进而引出两位小数的意义。

如上设计，学生在理解一位小数意义的基础上进行已有学习经验的正向迁移，通过一系列的追问，促使学生将已有十进制知识进行再创造，经历“做”数学的过程，建构出两位小数对应的概念表征，理解了两位小数的意义。

二、经历过程，让学生卷入“怎么理解” 

让学生自己建构数学，既是教学的目标，也是理解数学的方式。当只有教师教，没有给学生真正学习关键思想和关联点的机会时，学生的理解也就无从谈起。因此，发展学生的数学理解，重要的是让学生经历学习的过程，让学生自己建构数学知识。弗赖登塔尔认为，数学的根源在于普通常识，数学实质上是人类常识的系统化，因此，每个学生都可以在一定的指导下，通过自己的实践活动来获得这些知识。

强化“变式”。比如，在学生初步理解了一位小数的意义后，可以让学生用正方形的纸片，通过折一折、画一画等方法表示0.3。在理解了一位小数的意义后，再又让学生拿出刚刚的那张正方形纸片，在原作品上表示想研究的一个两位小数。并对学生作品进行逐一评析，让其明白，无论画的是一维的线段还是二维的平面图形，只要把它们平均分成10份、100份，其中的几份都可以用小数来表示，促进其进一步加深理解对小数意义的理解和深化。

再比如，在学习了一位小数的意义之后，还可以编拟这样的练习题，使理解发生。

第一幅图没有“老老实实”地按顺序涂三格而是跳着涂；第二幅图是线段，0.2也是截取的中间一段，打破学生的思维定势；第三幅图是立体图形，拓展了“1”的外延，发展学生的空间思维；而第四幅图没有平均分成10分，启发思考：如果看不到平均分成10份，还能用小数表示吗？使学生打破思维的定势，触及到知识的本质，即无论能看到还是看不到平均分成10份，都可以用小数来表示。

丰富“表征”。每一个抽象的数学概念，都可以有不同的数学表征。不同表征之间的“互译”，可以丰富儿童对概念内涵的把握和洞察。因此，数学教学中，鼓励学生用“自定义”有意义的形式表征他们的数学观点，在不同的表征方式之间形成丰富的联系，有利于形成丰富的概念意象，促进对数学知识的深入理解。比如，让学生在线段、长方形和长方体三种图形中任选一种来表示0.7、0.23和0.575，从而使其明白：数学知识内部的发展是有规律可循的，尽管每一种图都可以表示多位小数，但是平均分成10份、100份、1000份，分别对应一维的线段图、二维的平面图和三维的方体图会显得更方便些。再比如，在如上举例中，让学生在方格纸上画出“0.46”，也体现出同样的特点，在第5份中怎么再平均分成10份呢，有学生横着分，也有学生竖着分，教师引导学生对两种表征方式进行对比，在肯定都有道理的前提下，引导学生感觉到，横着分的优势更明显：既美观又明晰，还能更方便把整个正方形平均分成100份。

三、多重关联，让学生实现“理解深刻”

哈佛大学威金斯教授等人认为，理解不是单方面的成就，而是多方面的，可以通过不同类型的证据表现出来。“真正的理解”可以在六个方面得以体现，即能结构、能解释、能应用、能洞察、能深入、能自知。理解的六个维度表现为评价学生的数学理解提供了多元的指标，同时也启示我们：数学教学不仅要关注知识的客观性标准，也要关注学生在理解数学时的个性化活动。

纳入结构。一般情况下，学习过程只能按时间顺序先后安排，但理解却并不是直线式的简单累积，相反，它是螺旋式地发展、结构式地建造出来的。对于数学来说，无论是一个概念的形成，还是整体认知结构的产生，都需要经历一个建构的过程。用皮亚杰的话说就是，“每一个结构都是心理发生的结果，而心理发生就是一个从较初级的结构过渡到一个不那么初级的结构。”因此，理解不仅仅是把新知识与先前的旧有知识产生联系，而是创建了一个丰富的、整合的知识结构。比如可以出示这样的三幅图，让学生填空并思考“它们之间有什么联系”；

也可以通过同一个正方体，依次平均分成10份、100份、1000份后所得到一份量，感受不同计数单位1、0.1、0.01、0.001，进一步让学生感受一位小数、两位小数与三位小数的研究模型及其计数单位之间的关系。

促进阐释。面对不同的问题人们通常会采取不同的思维方式。基于真实任务的问题解决将学校学习视为“现实世界中创造性社会实践中完整的一部分”，对促进学生的数学理解具有重要的作用。真实任务为学生提供了一个有意义学习并促进知识向日常生活动转化的实践场。在这一实践场中，知识、思维和学习的情境是互相紧密联系的，学生的信念、经验和背景构成了解决问题的概念工具。一位老师设计了这样一道很有价值的现实问题：“上四年级的小马在学校参加了体检，回家后妈妈问他身高是多少？

小马回忆了一会儿，说我的身高是这样的一个小数，这个小数里，有数字9和4，请问，小马的身高是多少呢？”让学生在有趣富有开放性的问题中，运用已经理解的小数意义进行解释和应用，同时也有效地建立了数学与生活的紧密联系。还有一位老师在课尾围绕“有了分数为什么还要学习小数呢”这一思辨性很强的问题进行研究，让学生用分数与小数两种方法表示结果，从而感受到用小数计算比分数来得更加快捷与简单，进而感受到小数诞生的必要性。

教学有法，但教无定法，诚如帕斯默尔所说：理解具有多种多样的表现方式，这些方式彼此相互独立又相互交融，相应地，也有许多不同的教“理解”的方法。期待数学教育因理解而带给更多的变化与活力。

END