《四元玉鑑》“鎖套吞容”句股容圓精闢之問﹝5﹞
《四元玉鑑》“鎖套吞容”句股容圓精闢之問﹝5﹞
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo XiāngGuǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：本文之問取自《四元玉鑑》之“鎖套吞容”門。本文精闢之題為句股田容圓池之問，其精闢處為不必算出斜邊之長。
關鍵詞：圓田、方田、句股田、圭田
本文之問取自《四元玉鑑》之“鎖套吞容”門。 所謂“鎖套吞容”乃指一幾何圖形中含另一幾何圖形所衍生之數學問題。
“鎖套吞容”共十九問，以下為該門其中三問，而本文所涉及者乃圓田、句股田、圭田容圓池、句股田容方等。
鎖套吞容（一十九問）
(1)
今有圓田一段，西邊被水侵入一弧。外有殘周五十三步，弦長二十步。問圓徑、弧背、矢闊各幾何？
答曰：圓徑二十五步，矢闊五步，弦背二十二步。
術曰：立天元一為水侵弧矢，如積求之得三萬為正實，七千三百為益方，六百為從上廉，七十三為益下廉，一為正隅，三乘方開之得矢闊。
又矢除半弦冪，加矢，即圓田徑。又倍矢冪，以圓徑除之，為弦背差，加弦，即弧背，合問。
解：
“水侵”，為水所淹也。“殘周”，未被水所淹之圓周；“弧背”，弦之劣弧。解本題之關鍵為求弦背﹝或弧背﹞ABC 之近似公式 c +
，其中 d 為圓直徑，v 為弧矢， c 為弦，若不知以上之公式，則無法確立方程式。
以下為圓田水侵入弧圖：
上圖為圓田，水從西邊入侵，弧田﹝即弓形﹞ABC 乃為水所侵之面積，依以上所云之符號，d 為圓直徑，v 為弧矢 BE， c 為弦 AC，弦 AC左方之優弧是為“殘周”，右方之劣弧 ABC 是為“弧背”，水侵之部分。
注意 d 為圓直徑，v 為弧矢 BE， c = 20 為弦 AC。O 為圓心，OA= OB = OC =
；又 π 為古率為 3。
弦背ABC = c +
= 20 +
。
全圓周為 [(20 +
) + 53] ，據題意可列出以下之方程式：
3d = (20 +
) + 53 ----------------------------------(1)
又依勾股定理 OE2 + EA2 = OA2可得：
(
– v )2+ 102 =
--------------------------------(2)
從 (1) 可得 3d –73 =
3d2– 73d = 2v2 ------------------------------------------(3)
從 (2) 可得
– dv + v2 + 100 =
dv = v2 + 100
d =
--------------------------------------------(4)
代 (4) 入 (3) 得3(
)2 – 73(
) = 2v2
3(v4 +200v2 + 10000) – 73v(v2 +100) = 2v4
3v4 +600v 2 + 30000 – 73v3 – 7300v = 2v4
v4 – 73v3 +600v 2 – 7300v + 30000 = 0 ------------(5)
以上即《四元玉鑑》所云：
得三萬為正實，七千三百為益方，六百為從上廉，七十三為益下廉，一為正隅。
以“益”為負，以“從”為正。“三乘方開之”即解一元四次方程式。
以下為本題之傳統開方法：
先設 (5) 式之左方為 f(x) = –v4 – 73v3 +600v 2 – 7300v + 30000，
先以 v = 0 、10 代入得：
f(0) = + 30000，
f(10) = – 10000 – 73000 + 6000 – 73000 + 30000 = 負數，
因 f(0)與 f(10) 變號，故 0 與 10 之間有一根。今以 2、3、4、5 ﹝即 30000之因子﹞試之，得：
f(5) = 54 –73 × 53 + 600 × 52 –7300 × 5 + 30000
= 625 – 9125 + 15000 – 36500 + 30000
= 0
故 v = 5 乃式 (5) 式之解，即矢闊 5 步。
圓徑d=
=
=
= 25﹝步﹞。
《四元玉鑑》術曰：
又矢除半弦冪，加矢，即圓田徑。
指 (
)2 ÷ 5 + 5 =20 + 5 = 25﹝步﹞。
圓周3d = 3 × 25 = 75﹝步﹞。
《四元玉鑑》術又曰：
又倍矢冪，以圓徑除之，為弦背差，加弦，即弧背。
指弦背ABC = c +
= 20 +
= 20 +
=20 + 2 = 22﹝步﹞。
是為“弦背差”。
或弦背ABC = 75 – 53= 22﹝步﹞。
答：圓徑 25 步，矢闊5 步，弦背 22 步。
(2)
今有圭田一段，闊一十四步，長二十四步。于內欲容圓池一所，問池徑幾何？
答曰：一十步二分步之一。
術曰：立天元一為容圓池徑，如積求之得一千一百七十六為益實，四十九為從方，六為從隅，平方開之，得圓徑，合問。
解：
圭田，即等腰三角形之田，通常其高﹝即長﹞大於其底﹝即闊﹞。
以下為圭田容圓池圖：
∆ABC 為圭田，今設其長 AF = h，BC 為闊 = a，設三角形之內圓半徑為 r，又設AB = AC = b，今考慮以下三角形面積：
∆ABC =
；∆OAC=
rb；∆OBC=
ra；∆OAB=
rb。
顯然，∆ABC = ∆OAC + ∆OBC + ∆OAB，
即
=
rb +
ra +
rb
ah = r(a + 2b)
2ah = 2r(a + 2b)
設 2r = d 是為圓直徑，上式右方可寫成：
2ah = d(a + 2b) -------------------------------------------(1)
注意 b2 = h2 +
---------------------------------------(2)
從 (1)得2ah – da = 2db
(2ah – da)2 = 4d2b2
以 (2)式代入得 (2ah – da)2 = 4d2(h2 +
)
4a2h2 – 4a2dh+ a2d2 = 4d2h2 + d2a2
4a2h2 – 4a2dh= 4d2h2
d2h2 + a2dh– a2h2 = 0
d2h + a2d– a2h = 0，
今將 h = 24 及 a = 14 代入得：
24d2 + 196d – 4704 = 0
以4約簡得 6d2 + 49d – 1176 = 0 -------------------- (2)
以上即《四元玉鑑》所云：
得一千一百七十六為益實，四十九為從方，六為從隅。
以“益”為負，以“從”為正。“平方開之”即解一元二次方程式。
分解因式得 (2d– 21)(3d + 56) = 0
可知 2d= 21，即 d = 10
。負根不取。
以下為本題之傳統開方法：
先設 (2) 之左方為 f(d) = 6d2 + 49d –1176，
先以 d = 10 、20 代入得：
f(10) = 600 + 490 – 1176 = –86，
f(20) = 2400 + 980 – 1176 = 2204，
因 f(10)與 f(20) 變號，故 10 與 20 之間有一根。
今取根之十位數為 1。又設 d = 10 + d1，其中 0 <d1 < 10。故式 (2) 可寫成：
6(10 + d1)2 + 49(100 + d1) – 1176 = 0
左方為f(d 1) = 6(10 + d1)2 + 49(100 + d1) – 1176
=6(d12+ 20d1 + 100) + 49(10 + d1) – 1175
=6d12 + 120d1+ 600 +490 + 47d1 – 1175
=6d12+ 167d1 – 85。
今以 d1 = 5﹝取85 之因子﹞代入可知：
f(5) = 150 + 835 – 85，但83.5 + 1.5 = 85，從觀察可知：
f(
) =
+
– 85 =
– 85 = 0﹝注意
即 0.5﹞。
故d1 =
為方程式 6d12+ 167d1 – 85 = 0 之解，
所以 d = 10 + d1 = 10 +
=10
﹝步﹞。
答：圓池直徑為10
步。
(3)
今有句股田一段，句闊一十八步，股長二十四步。今欲從句內容圓池一所，問容池周幾何？
答曰：三十六步。
術曰：立天元一為容池周，如積求之得七千七百七十六為正實，二百五十二為益方，一為正隅，平方開之，得池周，合問。
解：
句股田指直角三角形田，特別是三邊成勾三股四弦五之比。
以下為一般之情況，見以下之句股容圓圖：
設句股容圓圖之直角三角形直角短邊CB長a，CA長b，斜邊
AB = c = Ö(a2 + b2)。又 π 為古率為 3。
又設直角三角形之內圓半徑為r，今考慮以下三角形面積：
∆ABC =
；∆OAC=
rb；∆OBC=
ra；∆OAB=
rc。
顯然，∆ABC = ∆OAC + ∆OBC + ∆OAB，
即
=
rb +
ra +
rc
ab = r(a + b + c)，
r =
。
左右兩方乘以2得 2ab= 2r(a+ b + c)，
移項得：
即2r = d =
。d為直徑。若 a = 18，b = 24，
c = √(182 + 242)= √(324 + 576) = √900 = 30。
直徑 d =
=
= 12﹝步﹞。
圓池周為12× 3 = 36 ﹝步﹞。
《四元玉鑑》不作此算法，今設圓池周為 x 步，則其直徑為
步，半徑為
步，從下圖可知：
AB = AF + FB = AE +GB = (b –
) + (a –
)
又 ∆ABC = ∆OAC + ∆OBC +∆OAB
即
= (
×
) + (
×
) +
×
[(b –
) + (a –
)]
ab =
(b + a) +
(b + a –
)
6ab = x(b + a) + x(b + a) –
18ab = 6x(b + a) – x2
– x2 +6x(b + a) – 18ab = 0
x2 – 6x(b + a) + 18ab = 0
x2 – 6 × (24 + 18)x + 18 × 24 × 18 = 0
x2 – 252x + 7776 = 0 -----------------------------------------(1)
以上即《四元玉鑑》所云：
七千七百七十六為正實，二百五十二為益方，一為正隅。
以“益”為負。“平方開之”即解一元二次方程式。
分解因式得(x – 36)( x –216) = 0
可知 x= 36，x = 216之根不取。
以下為本題之傳統開方法：
先設 (1) 之左方為 f(x) = x2 – 252x + 7776，
先以 x = 0、10 、100 代入得：
f(0) = +7776，
f(10) = 100 – 2520 + 7776 > 0，
f(100) = 10000 – 25200 + 7776 = – 7424，
因 f(10)與 f(100) 變號，故 10 與 100 之間有一根。今收窄其範圍，
以 20、30、40 代入試之，得：
f(30) = 900 – 7560 +7776 > 0，
f(40) = 1600 – 10080+ 7776< 0
因 f(30) 與 f(40) 變號，故 30 與 40 之間有一根。今取根之十位數為 3。又設 x = 30 + x1，其中 0 <x1 < 10。故式 (1) 可寫成：
(30+ x1)2 – 252(30 + x1) + 7776 = 0
左方為f(x 1) = (30 + x1)2 – 252(30 + x1) + 7776
=(x12 + 60x1 + 900) – 252(30 + x1) + 7776
=x12 + 60x1 + 900 – 7560 – 252x1 + 7776
=x12 – 192x1 + 1116。
今以 x1 = 2、4、6﹝取1116 之因子﹞代入試之，可知：
f(6) = 36 – 1152 + 1116 = 0，
故x1 = 6為方程式 x12 – 192x1 + 1116 = 0 之解，
所以 x = 30 + x1 = 30 + 6 = 36。
答：容池周為 36 步。
注意：本題實在不必以一元二次方程式解，不過 d =
之算法須要算出鈄邊 c，但《四元玉鑑》之一元二次方程式之算法不須要算出鈄邊 c，本題屬精闢之問。
(4)
今有句股田一段，句闊六步，股長一十二步。今欲從句容方池一所，問：容方面幾何？
答曰：四步。
術曰：立天元一為容方面，如積求之得七十二為益實，一十八為從方，開無隅平方而一，得容方面，合問。
解：
在一句股田內有一方池，求其“方面”﹝即方池之邊長﹞。
設一句股田﹝直角三角形﹞ABC，CA =a，CB = b，EFGC 為其內接正方形，以下為直角三角形之內接正方形圖：
設 x 為正方形之一邊，於是 GA= a – x ，BE = b – x ，據相似三角形對應邊之比相等，可得：
=
，即：
=
(a – x)(b – x) = x2
ab – ax – bx+ x2 = x2
ab = x(a+ b) ------------------------------------------ (1)
x =
，此即內接正方形一邊之長。
依題意得 CA = a = 6，CB = b =12，從 (1)式可得：
6 × 12 = x(6 + 12)
72 = 18x------------------------------------------------(2)
18x – 72 = 0 -------------------------------------------(3)
以上 (3) 式即《四元玉鑑》所云：
得七十二為益實，一十八為從方。
以“益”為負，以“從”為正。“開無隅平方而一”指解一元一次方程式解 x 之最後步驟，“無隅”指無 x2 或無更高次方之方程式。
本題之“開無隅平方”指 x =
之步驟。
從 (2) 式得x =
= 4。
答：內接正方形邊長為 4 步。