从一道湖北高考题谈定积分

我们先来看一道湖北的高考题（抱歉，忘记是哪一年的了，呵呵）

说到这里，我给大家分享一个笑话：一个英国某大学的数学教授发现自己家的下水道堵了，就请来一个水管工来修。30分钟后，水管疏通了。教授相当满意水管工的表现，但当他看到账单后不禁大叫：“什么！就30分钟你收的钱够我一个月收入的1/3了！我去当水管工好了！”。水管工说，“你可以去啊。我们公司正招人呢，还包培训。不过你得说你只是小学毕业。公司不喜欢学历太高的人”。于是教授就去参加培训，当了水管工。他的收入一下翻了三倍。他比以前高兴多了。几年后，公司突然决定把水管工们的文化水平提高到初中毕业，便要求旗下的工人们都去上夜校。夜校的第一堂课是数学。老师想先看一下这些水管工的基础有多好，于是他随便抽了一个人上来写圆面积的公式。这个教授被抽中了，不过干了这么多年水管工，他已经忘了圆面积的公式是π乘以r的平方。于是他只好从头推导：把圆无限分割后积分。但他得出的结果是负的π乘以r的平方。尴尬ing，教授从来又来，结果还是负的。他非常尴尬，于是回过头向教室里坐着的几十个水管工同事求助。只见这些同事正在交头接耳，纷纷给他说：把积分上下限交换一下。

不难发现，在进行积分运算时，我们反复地对底边长和左边长累加计算，尽管线段的面积为0，准确地说趋近于0，无穷小，但是经过无数次运算结果就未知了，即无穷小×无穷大的结果是0或无穷大或者某一个常数。那么如何改良，我们观察下图：

由此，我们也可以知道，当自变量不同时，我们会得到不同的结果，在实际问题中往往一个函数值可以表示不同的自变量的不同的函数形式，因此我们说对函数求导时，一定要说对谁求导，即这个函数对那个自变量求导，否则就会出现错误，譬如在例题中，如果我们给出圆的周长和面积与直径的函数，球的体积和表面积与直径的关系，那么我们就会得到错误的结论。

究其原因，“圆的面积函数的导数”这种说法是不正确的，正确的说法应该是“圆的面积函数对半径的导数”，当然我并不是在挑战高考命题人的权威，在这道考题中，命题人是为了考察类比推理，因为只有对相同的类进行类比时，才能得出具有共性的结论，譬如半径对半径，所以，在这道题中，我们还是可以理解是正确的，但是我们必须明白：就像函数一定是对谁的函数一样，导数一定是对谁求导，有时候我们可以不说吗，但是那自变量是确确实实存在的并且不可忽视！！