【第779期】高一 | 函数的值域

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函数的值域

值域是函数的三要素之一，由于定义域和对应法则确定以后，值域也就随之确定，因此关于函数值域的问题更多的是集中在求给定函数的值域问题.函数千变万化，值域问题也多种多样，这里将常见值域的求法进行归纳整理.

一、观察法

有的函数结构并不复杂，可以通过对函数解析式观察或变形，利用熟知的函数的值域可求出所给函数值域.

二、配方法

对二次函数型的解析式，应先进行配方，并特别注意自变量的取值范围，利用二次函数值域的方法求函数的值域.

三、图像法

先做出函数的图象，观察函数图象的“最高点”和“最低点”，利用数形结合的方法求得函数的值域，一般求分段函数的值域常用此法.

四、判别式法

判别式法主要针对的是二次分式型函数值域问题，当分母和分子没有公因式时，将函数的解析式转化为关于自变量x的一元二次方程，利用一元二次方程有实根的条件是判别式大于等于零，得到关于y的不等式，解此不等式即可得到值域.

五、换元法

通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，利用简单函数在值域求原函数的值域.用换元法求函数值域时，要注意换元后的变量取值范围.

六、分离常数法

分离常数法经常处理的是一次分式型函数，通过分离常数，将所给函数转化为类变比例函数模型，借助反比例函数图象与性质求得最值.

七、反解法

将所给函数进行变形后利用已知函数的值域求值域的方法.这里常出现的有根式、平方、分式等，结合其自身的特点寻找y的不等式，通过求解找到值域.

八、单调性法

通过分析已知函数的单调性，利用单调性求函数值域的方法.一般情况下，都是对于常见的函数，性质比较熟悉的函数进行分析.

九、分段函数值域

分段函数是一个函数，由于组成这个函数的每个部分解析式不同，因此求值域时可先求每部分值域（可采用前面方法），然后对其取并集即可得到整个函数的值域.

十、值域逆向问题

函数值域的逆向问题，主要是利用已知函数的值域，求出满足条件的参数的范围（或值）.

函数值域的求法很多，这里列举的是一些常见的问题和方法.初学者可以开阔视野，但绝不可以僵化，同一道题目可以有多种解法，要灵活运用.此外，值得一提的是，随着高中学习的深入，还会出现新的值域问题，如三角函数中的值域问题，基本不等式法求最值，导数法求最值等等，知识会常学常新，方法须常练常熟.

路虽远，行必至！